자유 변수와 종속 변수

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논리학컴퓨터 과학에서, 자유 변수(自由變數, 영어: free variable)는 수식 속의 변수 가운데 상숫값으로 치환할 수 있는 것이다. 반대로 종속 변수(從屬變數, 영어: bound variable)는 상숫값으로 치환하였을 때 수식이 본래의 의미를 잃게 되는 변수이다. 종속 변수 대신 가변수(假變數, 영어: dummy variable)라고도 하나, 이는 회귀 분석의 용어로서 더 많이 쓰인다. 컴퓨터 프로그래밍에서 자유 변수는 전역 변수, 종속 변수는 지역 변수를 가리킨다. 이 경우, 자유 변수는 대략 함수의 바깥에서 정의된 변수를 뜻한다.[1]

정의[편집]

어떤 수식의 변수 가 다음과 같은 꼴의 부분 수식 속에 나타난다면, 그 위치의 종속 변수라고 한다.

  • 기타 등등

여기서 는 전칭 기호, 는 존재 기호, 급수, 적분, 극한이다. 까지 종속 변수인지는 문맥에 따라 다르다.[2][3]:17 종속 변수가 아닌 변수를 자유 변수라고 한다.

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대형 연산자를 포함하는 수식의 자유 변수와 종속 변수[편집]

수식

에서, 은 자유 변수, 는 종속 변수이다. 따라서, 이 급수함수이지만, 의 함수는 아니다.

수식

에서, 는 종속 변수, 는 자유 변수이다. 즉, 이 적분의 함수이지만 의 함수가 아니다.

변수에 상숫값을 대입시킬 때에는 반드시 자유 변수에만 대입시켜야 한다. 예를 들어, 급수

속의 세 개의 가운데, 첫째 은 자유 변수, 둘째와 셋째 은 종속 변수이다. 여기에 를 대입시키려면, 자유 변수인 첫째 변수에만 대입시켜야만 정확한 결과

를 얻는다. 만일 를 이 급수의 자유 변수와 종속 변수에 대입시키면,

를 얻으며, 이는 무의미한 수식이다. 만일 첫째와 셋째 에만 대입시키면,

를 얻으며, 이 식의 값은 를 대입한 결과값과 다르다.

종속 변수를 다른 변수로 대신하여도 수식의 의미가 변하지 않는다. 예를 들어, 다음과 같은 세 급수는 완전히 같은 급수이다.

술어 논리식의 자유 변수와 종속 변수[편집]

논리식

에서, 는 자유 변수이다. 여기에 상숫값인 을 대입하여 얻는

은 여전히 유의미한 논리식이다.

논리식

에서, 두 는 모두 종속 변수이다. 여기에 상숫값인 을 대입하여 얻는 논리식은 원래의 논리식과 같다. 만일 둘째 를 3으로 대신하면

을 얻는데, 이는 3이 음수라는 의미의 거짓 명제이지만, 원래의 논리식은 음수가 존재한다는 의미의 참인 명제이다. 또한, 바뀐 논리식의 변수 를 다른 변수로 치환하여도 의미가 변하지 않는다. 예를 들어,

는 원래의 논리식과 동치이다.

각주[편집]

  1. Lamkins, David B. (2004년 12월 8일). 《Successful Lisp: How to Understand and Use Common Lisp》 (영어). bookfix.com. 
  2. Hamilton, Alan G. (1988). 《Logic for Mathematicians》 (영어) 개정판. Cambridge University Press. ISBN 0-521-36865-0. 
  3. Bell, John L.; Machover, Moshé (1977). 《A Course in Mathematical Logic》. North-Holland. ISBN 978-0-7204-2844-5. 

외부 링크[편집]