구조 (논리학)

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모형 이론에서, 구조(構造, 영어: structure)는 어떤 주어진 1차 논리 언어의 해석을 갖춘 집합이다.

정의[편집]

자연수(음이 아닌 정수)의 집합을 이라고 쓰자.

부호수(符號數, 영어: signature) 는 다음과 같은 튜플이다.

  • 집합이다. 의 원소를 연산(演算, 영어: operation)이라고 한다.
  • 집합이다. 의 원소를 관계(關係, 영어: relation)라고 한다.
  • 함수이다. 에 대하여 이라면, 항 연산(영어: -ary operation)이라고 한다.
  • 함수이다. 에 대하여 이라면, 항 관계(영어: -ary relation)라고 한다.

부호수 구조 는 다음과 같은 튜플이다.

  • 집합이다. 이를 구조의 전체(全體, 영어: universe)라고 한다.
  • 에 대하여, 이다. 에 대하여, 을 보통 이라고 쓰며, 항 연산 에서의 해석(解釋, 영어: interpretation)이라고 한다.
  • 에 대하여, 이다. 에 대하여, 을 보통 이라고 쓰며, 항 관계 에서의 해석(解釋, 영어: interpretation)이라고 한다.

관계를 포함하지 않는 부호수를 대수적 부호수(영어: algebraic signature)라고 하고, 대수적 부호수의 구조를 대수 구조라고 한다.

언어[편집]

부호수 의 (1차 논리) 언어(言語, 영어: language) 공식(公式, 영어: formula)과 (項, 영어: term)으로 구성된다. 은 다음과 같이 재귀적으로 정의된다.

  • 변수 는 항이다 ().
  • 항 연산 에 대하여, 은 항이다.

공식은 다음과 같이 재귀적으로 정의된다.

  • 항 관계 에 대하여, 는 공식이다.
  • 에 대하여, 는 공식이다.
  • 공식 에 대하여, 는 공식이다.
  • 공식 에 대하여, 는 공식이다.
  • 변수 및 공식 에 대하여, 만약 가 이미 를 포함하지 않는다면, 는 공식이다.

만약 속에 변수 가 등장하지만 가 등장하지 않는다면, 자유 변수(영어: free variable)라고 하고, 가 등장한다면 제한 변수(영어: bound variable)라고 한다. 자유 변수가 없는 공식을 문장(영어: sentence)이라고 한다. 문장들의 집합을 이론(理論, 영어: theory)이라고 한다.

만족[편집]

부호수 의 언어에 속하는 공식 개의 자유 변수 을 갖는다고 하자. 부호수 의 구조 에 대하여, 다음과 같이 재귀적으로 정의되는 조건이 성립한다면, 를 치환 아래 만족시킨다(滿足시킨다, 영어: satisfy)고 하고, 라고 쓴다. 여기서 부호수의 언어의 논리 기호 , , , 은 메타 언어의 논리 기호와 구별하기 위하여 괄호 속에 적었다.

  • . 여기서 는 항 속에 등장하는 모든 변수 를 이에 대응하는 로 치환하고, 속에 등장하는 모든 연산 으로 치환하여 얻은 원소 이다.

부호수 의 언어에서, 개의 자유 변수 를 갖는 공식 에 대하여, 만약 -구조 이 존재한다면, 만족 가능 공식(滿足可能命題, 영어: satisfiable formula)이라고 한다.

이론 모형(模型, 영어: model)은 모든 에 대하여 -구조 이다.

참고 문헌[편집]

외부 링크[편집]