모형 이론 에서 구조 (構造, 영어 : structure )는 어떤 주어진 1차 논리 언어의 해석을 갖춘 집합이다.
자연수 (음이 아닌 정수 )의 집합을
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
부호수 (符號數, 영어 : signature )
(
F
,
R
,
arity
F
,
arity
R
)
{\displaystyle (F,R,\operatorname {arity} _{F},\operatorname {arity} _{R})}
튜플 이다.
F
{\displaystyle F}
집합 이다.
F
{\displaystyle F}
연산 (演算, 영어 : operation )이라고 한다.
R
{\displaystyle R}
집합 이다.
R
{\displaystyle R}
관계 (關係, 영어 : relation )라고 한다.
arity
F
:
F
→
N
{\displaystyle \operatorname {arity} _{F}\colon F\to \mathbb {N} }
함수 이다.
f
∈
F
{\displaystyle f\in F}
arity
F
(
f
)
=
n
{\displaystyle \operatorname {arity} _{F}(f)=n}
f
{\displaystyle f}
n
{\displaystyle n}
영어 :
n
{\displaystyle n}
arity
R
:
R
→
N
{\displaystyle \operatorname {arity} _{R}\colon R\to \mathbb {N} }
함수 이다.
r
∈
R
{\displaystyle r\in R}
arity
R
(
r
)
=
n
{\displaystyle \operatorname {arity} _{R}(r)=n}
r
{\displaystyle r}
n
{\displaystyle n}
영어 :
n
{\displaystyle n}
부호수
(
F
,
R
,
arity
F
,
arity
R
)
{\displaystyle (F,R,\operatorname {arity} _{F},\operatorname {arity} _{R})}
구조
(
M
,
F
M
n
,
R
M
n
)
n
∈
N
{\displaystyle (M,F_{M}^{n},R_{M}^{n})_{n\in \mathbb {N} }}
튜플 이다.
M
{\displaystyle M}
집합 이다. 이를 구조의 전체 (全體, 영어 : universe )라고 한다.각
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
F
M
n
:
arity
F
−
1
(
n
)
→
M
M
n
{\displaystyle F_{M}^{n}\colon \operatorname {arity} _{F}^{-1}(n)\to M^{M^{n}}}
f
∈
arity
F
−
1
(
n
)
{\displaystyle f\in \operatorname {arity} _{F}^{-1}(n)}
F
M
n
(
f
)
:
M
arity
F
(
f
)
→
M
{\displaystyle F_{M}^{n}(f)\colon M^{\operatorname {arity} _{F}(f)}\to M}
f
M
{\displaystyle f_{M}}
n
{\displaystyle n}
f
{\displaystyle f}
M
{\displaystyle M}
해석 (解釋, 영어 : interpretation )이라고 한다.
각
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
R
M
n
:
arity
R
−
1
(
n
)
→
P
(
M
n
)
{\displaystyle R_{M}^{n}\colon \operatorname {arity} _{R}^{-1}(n)\to {\mathcal {P}}(M^{n})}
r
∈
arity
R
−
1
(
n
)
{\displaystyle r\in \operatorname {arity} _{R}^{-1}(n)}
R
M
n
(
r
)
⊂
M
arity
R
(
r
)
{\displaystyle R_{M}^{n}(r)\subset M^{\operatorname {arity} _{R}(r)}}
r
M
{\displaystyle r_{M}}
n
{\displaystyle n}
r
{\displaystyle r}
M
{\displaystyle M}
해석 (解釋, 영어 : interpretation )이라고 한다. 관계를 포함하지 않는 부호수를 대수적 부호수 (영어 : algebraic signature )라고 하고, 대수적 부호수의 구조를 대수 구조
부호수
(
F
,
R
,
arity
F
,
arity
R
)
{\displaystyle (F,R,\operatorname {arity} _{F},\operatorname {arity} _{R})}
1차 논리 ) 언어 (言語, 영어 : language )
L
{\displaystyle {\mathcal {L}}}
공식 (公式, 영어 : formula )과 항 (項, 영어 : term )으로 구성된다.
L
{\displaystyle {\mathcal {L}}}
항 은 다음과 같이 재귀적으로 정의된다.
변수
x
i
{\displaystyle x_{i}}
i
∈
N
{\displaystyle i\in \mathbb {N} }
항
t
1
,
…
,
t
n
{\displaystyle t_{1},\dots ,t_{n}}
n
{\displaystyle n}
f
∈
F
{\displaystyle f\in F}
f
(
t
1
,
…
,
t
n
)
{\displaystyle f(t_{1},\dots ,t_{n})}
L
{\displaystyle {\mathcal {L}}}
공식 은 다음과 같이 재귀적으로 정의된다.
항
t
1
,
…
,
t
n
{\displaystyle t_{1},\dots ,t_{n}}
n
{\displaystyle n}
r
∈
R
{\displaystyle r\in R}
r
(
t
1
,
…
,
t
n
)
{\displaystyle r(t_{1},\dots ,t_{n})}
항
t
1
,
t
2
{\displaystyle t_{1},t_{2}}
t
1
=
t
2
{\displaystyle t_{1}=t_{2}}
공식
ϕ
{\displaystyle \phi }
¬
ϕ
{\displaystyle \lnot \phi }
공식
ϕ
{\displaystyle \phi }
ψ
{\displaystyle \psi }
ϕ
{\displaystyle \phi }
ψ
{\displaystyle \psi }
ψ
{\displaystyle \psi }
ϕ
{\displaystyle \phi }
ϕ
∧
ψ
{\displaystyle \phi \land \psi }
변수
x
i
{\displaystyle x_{i}}
ϕ
{\displaystyle \phi }
ϕ
{\displaystyle \phi }
∀
x
i
:
{\displaystyle \forall x_{i}\colon }
∀
x
i
:
ϕ
{\displaystyle \forall x_{i}\colon \phi }
만약
ϕ
{\displaystyle \phi }
x
i
{\displaystyle x_{i}}
∀
x
i
:
{\displaystyle \forall x_{i}\colon }
x
i
{\displaystyle x_{i}}
자유 변수 (自由變數, 영어 : free variable )라고 하고,
∀
x
i
:
{\displaystyle \forall x_{i}\colon }
x
i
{\displaystyle x_{i}}
제한 변수 (制限變數, 영어 : bound variable )라고 한다. 자유 변수가 없는 공식을 문장 (文章, 영어 : sentence )이라고 한다. 문장들의 집합을 이론 (理論, 영어 : theory )이라고 한다.
부호수
σ
{\displaystyle \sigma }
ϕ
{\displaystyle \phi }
n
{\displaystyle n}
x
→
=
(
x
1
,
…
,
x
n
)
{\displaystyle {\vec {x}}=(x_{1},\dots ,x_{n})}
σ
{\displaystyle \sigma }
M
{\displaystyle M}
a
→
∈
M
n
{\displaystyle {\vec {a}}\in M^{n}}
M
{\displaystyle M}
ϕ
{\displaystyle \phi }
x
→
↦
a
→
{\displaystyle {\vec {x}}\mapsto {\vec {a}}}
만족시킨다 (滿足시킨다, 영어 : satisfy )고 하고,
M
⊨
ϕ
[
a
→
/
x
→
]
{\displaystyle M\models \phi [{\vec {a}}/{\vec {x}}]}
=
{\displaystyle =}
¬
{\displaystyle \lnot }
∧
{\displaystyle \land }
∀
{\displaystyle \forall }
⟨
⋯
⟩
{\displaystyle \langle \cdots \rangle }
M
⊨
⟨
t
1
=
t
2
⟩
[
a
→
/
x
→
]
⟺
t
1
[
a
→
/
x
→
]
=
t
2
[
a
→
/
x
→
]
{\displaystyle M\models \langle t_{1}=t_{2}\rangle [{\vec {a}}/{\vec {x}}]\iff t_{1}[{\vec {a}}/{\vec {x}}]=t_{2}[{\vec {a}}/{\vec {x}}]}
t
[
a
→
/
x
→
]
{\displaystyle t[{\vec {a}}/{\vec {x}}]}
t
{\displaystyle t}
x
i
{\displaystyle x_{i}}
a
i
{\displaystyle a_{i}}
t
{\displaystyle t}
f
∈
F
{\displaystyle f\in F}
f
M
{\displaystyle f_{M}}
∈
M
{\displaystyle \in M}
M
⊨
⟨
R
(
t
1
,
…
,
t
n
)
⟩
[
a
→
/
x
→
]
⟺
R
M
(
t
1
[
a
→
/
x
→
]
,
…
,
t
n
[
a
→
/
x
→
]
)
{\displaystyle M\models \langle R(t_{1},\dots ,t_{n})\rangle [{\vec {a}}/{\vec {x}}]\iff R_{M}(t_{1}[{\vec {a}}/{\vec {x}}],\dots ,t_{n}[{\vec {a}}/{\vec {x}}])}
M
⊨
⟨
ϕ
∧
χ
⟩
⟺
(
M
⊨
ϕ
)
∧
(
M
⊨
χ
)
{\displaystyle M\models \langle \phi \land \chi \rangle \iff (M\models \phi )\land (M\models \chi )}
M
⊨
⟨
¬
ϕ
⟩
⟺
¬
(
M
⊨
ϕ
)
{\displaystyle M\models \langle \lnot \phi \rangle \iff \lnot (M\models \phi )}
M
⊨
⟨
∀
y
:
ϕ
(
y
)
⟩
[
a
→
/
x
→
]
⟺
∀
b
∈
M
:
M
⊨
ϕ
[
(
a
→
,
b
)
/
(
x
→
,
y
)
]
{\displaystyle M\models \langle \forall y\colon \phi (y)\rangle [{\vec {a}}/{\vec {x}}]\iff \forall b\in M\colon M\models \phi [({\vec {a}},b)/({\vec {x}},y)]}
부호수
σ
{\displaystyle \sigma }
n
{\displaystyle n}
x
→
{\displaystyle {\vec {x}}}
ϕ
{\displaystyle \phi }
M
⊨
ϕ
[
a
→
/
x
→
]
{\displaystyle M\models \phi [{\vec {a}}/{\vec {x}}]}
σ
{\displaystyle \sigma }
M
{\displaystyle M}
a
→
∈
M
n
{\displaystyle {\vec {a}}\in M^{n}}
ϕ
{\displaystyle \phi }
만족 가능 공식 (滿足可能命題, 영어 : satisfiable formula )이라고 한다.
이론
T
{\displaystyle {\mathcal {T}}}
모형 (模型, 영어 : model )은 모든
ϕ
∈
T
{\displaystyle \phi \in {\mathcal {T}}}
M
⊨
ϕ
{\displaystyle M\models \phi }
σ
{\displaystyle \sigma }
M
{\displaystyle M}
참고 문헌 [ 편집 ] 외부 링크 [ 편집 ] 
![M\models \phi [{\vec a}/{\vec x}]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2dfb2e5571c83b04bcbecec028202e50ed7944c4)
![M\models \langle t_{1}=t_{2}\rangle [{\vec a}/{\vec x}]\iff t_{1}[{\vec a}/{\vec x}]=t_{2}[{\vec a}/{\vec x}]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e0515eb3b855289ce12bec4894b66101ce1cd65)
![t[{\vec a}/{\vec x}]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab52b171de496780c612597c237f9180e7dffd7e)
![{\displaystyle M\models \langle R(t_{1},\dots ,t_{n})\rangle [{\vec {a}}/{\vec {x}}]\iff R_{M}(t_{1}[{\vec {a}}/{\vec {x}}],\dots ,t_{n}[{\vec {a}}/{\vec {x}}])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81b2c98ac59bc84be38c1070669f83e4c5ce137e)
![M\models \langle \forall y\colon \phi (y)\rangle [{\vec a}/{\vec x}]\iff \forall b\in M\colon M\models \phi [({\vec a},b)/({\vec x},y)]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e353c3e4cea2d6ee9cea428c44aa2c3e2f8bf2b3)
