정수

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정수들의 집합은 순서에 따라 직선 위에 나타낼 수 있다.

수학에서, 정수(整數, 문화어: 옹근수)는 양의 정수(1, 2, 3, ...) 및 음의 정수(-1, -2, -3, ...) 및 0으로 이루어진 수 체계이다. 수론의 가장 기본적인 연구 대상이다. 정수의 집합의 기호는 .

정의[편집]

정수 체계는 (0을 포함하는) 자연수 체계 으로부터 다음과 같이 정의할 수 있다. 집합 위에 다음과 같은 조건을 만족시키는 최소 동치 관계를 주자.

이 동치 관계에 대한 몫집합을 정수 집합 라고 정의하자. 그 위에 덧셈과 곱셈을 다음과 같이 정의한다.

그렇다면 정수의 집합 을 이루며, 이를 정수환(整數環, 영어: ring of integers)이라고 한다. 자연수의 집합과 정수의 집합 사이의 표준적인 단사 반환 준동형은 다음과 같다.

추가로, 원소 의 표기는 이다. 이러한 구성 방법은 일반적으로 모노이드에서 군으로 체계를 확장할 때 생기는 그로텐디크 군의 한 형태이다.

성질[편집]

대수적 성질[편집]

자연수 집합과 마찬가지로, 정수 집합은 덧셈곱셈에 대해 닫혀 있다. 하지만 자연수 집합과 다르게, 뺄셈에도 닫혀 있다. 나눗셈에는 닫혀 있지 않다.

덧셈 곱셈
닫힘: a + b  은 정수 a × b  은 정수
결합법칙: a + (b + c)  =  (a + b) + c a × (b × c)  =  (a × b) × c
교환법칙: a + b  =  b + a a × b  =  b × a
항등원: a + 0  =  a a × 1  =  a
역원: a + (−a)  =  0
분배법칙:   (a × b) + (a × c)=a × (b + c)  

관련 개념[편집]

유리수와 정수의 관계는 대수적 수대수적 정수의 관계까지 일반화될 수 있다.

외부 링크[편집]