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동치 관계

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수학에서 동치 관계(同値關係, 영어: equivalence relation)는 논리적 동치와 유사한 성질들을 만족시키는 이항 관계이다.

정의

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동치 관계

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집합 위의 동치 관계는 다음 세 조건을 만족시키는, 위의 이항 관계 이다.

  • (반사 관계) 임의의 에 대하여,
  • (대칭 관계) 임의의 에 대하여, 만약 라면,
  • (추이적 관계) 임의의 에 대하여, 만약 이고 라면

동치류와 몫집합

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집합 위에 동치 관계 이 주어졌을 때, 원소 의, 에 대한 동치류(同値類, 영어: equivalence class) 와 동치인 원소들을 모은 집합이다.

집합 위에 동치 관계 이 주어졌을 때, 에 대한 몫집합(-集合, 영어: quotient set) 은 모든 동치류들을 모은 집합이다.

모임의 경우

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선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론(ZFC)에서, 모임은 하나의 자유 변수를 가지는 논리식으로 여길 수 있다. 어떤 집합이 이 논리식을 만족시킬 때, 집합은 이 논리식에 대응하는 모임의 원소가 된다. 자유 변수에 논리식을 대입하는 것은 합법적이지 않으므로, 고유 모임은 모임의 원소가 될 수 없다.

모임 위에서도 동치 관계·동치류·몫집합의 개념을 정의할 수 있다. 동치 관계의 정의는 집합 위에서의 정의를 옮겨 오면 충분하다. 다만, 모임 위의 동치 관계는 곱모임 의 부분 모임으로서, 더 이상 집합이 아닐 수 있다. 모임의 원소의 동치류를 이 원소와 동치인 원소들의 모임으로 정의할 경우, 동치류들을 개별적으로 다루는 데에는 문제가 없으나, 동치류들이 고유 모임일 수 있으므로 동치류들의 모임을 합법적으로 정의할 수 없다. 즉, 을 정의하려면 동치류가 집합이 되도록 동치류의 정의에 수정을 가하여야 한다.

모임 위에 동치 관계 가 주어졌다고 하자. 원소 에 대하여, 다음과 같이 정의한다.[1]:65

즉, 와 동치인 원소 가운데, (폰 노이만 전체에서의) 계수가 가장 낮은 것들의 모임이다. (이러한 최소 계수의 원소가 존재하는 것은 순서수의 모임이 정렬 전순서 모임이기 때문이다.) 이러한 최소의 계수를 라고 할 때, 는 집합 의 부분 모임이므로, 집합이다. 따라서, 모임

을 정의할 수 있다.[1]:65

성질

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집합 위에 동치 관계 이 주어졌을 때, 다음과 같은 표준적인 전사 함수가 존재한다.

즉, 이 함수는 모든 원소를 이 원소가 속하는 동치류로 대응시킨다.

집합의 분할과의 관계

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집합 가 주어졌을 때, 위의 동치 관계들과 분할들 사이에 표준적인 일대일 대응이 존재하며, 이는 다음과 같다. 집합 위에 동치 관계 이 주어졌을 때, 몫집합 집합의 분할이다. 즉, 의 임의의 원소는 정확히 하나의 동치류에 속한다. 반대로, 집합 분할 가 주어졌다고 하자 (즉, 의 부분 집합들의 집합이며, 의 임의의 원소는 정확히 하나의 의 원소에 속한다). 위에 다음과 같은 이항 관계 를 정의하자.

그렇다면 위의 동치 관계이다. 는 서로 역함수이다. 즉,

이다. 따라서, 동치 관계와 집합의 분할의 개념은 동치이다.

순서론적 성질

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집합 가 주어졌다고 하자. 임의의 이항 관계 에 대하여, 를 포함하는 최소의 동치 관계 가 존재한다. 구체적으로, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • 다음 조건을 만족시키는 열 가 존재한다.
    • 에 대하여, 이거나

집합 위의 동치 관계들의 (포함 관계에 의한) 부분 순서 집합 완비 격자이다. 최소 원소는 (로 국한된) 등호 이며, 최대 원소는 전체 관계 이다. 동치 관계들의 집합 의 만남 는 교집합

이다. 의 이음 은 합집합 을 포함하는 최소의 동치 관계

이다.

동치 관계 격자 는 항상 대수적 격자(영어: algebraic lattice)이자 반모듈러 격자(영어: semimodular lattice)이다. 유한 집합 의 경우, 단순 격자(영어: simple lattice, 합동 관계가 자명한 격자)이다.

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임의의 집합 위에서, 등호 는 동치 관계를 이룬다.

평면 (또는 입체) 도형들의 집합 위에서, 닮음 관계는 동치 관계이다.

임의의 함수 에 대하여, 같은 함숫값을 갖는 관계

는 정의역 위의 동치 관계이다. 이를테면, 가 어떤 사람들의 집합이며, 가 사람의 생일을 찾는 함수라면, 는 같은 생일의 사람들을 한데 묶는 동치 관계로 생각할 수 있다.

반례

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반사 관계가 아닌 대칭 추이적 관계

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임의의 집합 위에서, 공관계

는 항상 대칭 관계이자 추이적 관계이다. 그러나, 만약 이라면 이는 반사 관계가 아니다. 반사 관계가 아닌 대칭 추이적 관계는 이러한 형태밖에 없다.

대칭 관계가 아닌 반사 추이적 관계

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정수의 집합 위의 표준적인 순서

를 생각하자. 이는 전순서이며, 특히 반사 관계이자 추이적 관계이지만, 대칭 관계가 아니다. 예를 들어, 이지만, 이다.

추이적 관계가 아닌 반사 대칭 관계

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정수 집합 위의 이항 관계

반사 관계이자 대칭 관계이지만, 추이적 관계가 아니다.

같이 보기

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각주

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  1. Jech, Thomas (2003). 《Set theory》. Springer Monographs in Mathematics (영어) 3판. Berlin: Springer. doi:10.1007/3-540-44761-X. ISBN 978-3-540-44085-7. ISSN 1439-7382. MR 1940513. Zbl 1007.03002. 

외부 링크

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