완비 격자

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순서론에서, 완비 격자(完備格子, 영어: complete lattice)는 임의의 크기의 이음 및 만남이 존재하는 격자이다.

정의[편집]

순서론적 정의[편집]

모든 부분 집합 상한을 갖는 원순서 집합 상완비 원반격자(上完備原半格子, 영어: upper-complete presemilattice)라고 한다. 마찬가지로, 모든 부분 집합 하한을 갖는 원순서 집합 하완비 원반격자(下完備原半格子, 영어: lower-complete presemilattice)라고 한다. 두 상/하완비 원반격자 사이의 상/하완비 원반격자 사상(영어: upper/lower-complete presemilattice morphism)은 이러한 상한/하한들을 보존하는 함수이다.

원순서 집합 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이 조건을 만족시키는 원순서 집합 완비 원격자(完備原格子, 영어: complete prelattice)라고 한다.

완비 원격자 사상(영어: complete prelattice morphism)은 모든 이음과 만남을 보존하는 함수이다.

부분 순서 집합인 완비 원격자를 완비 격자라고 한다. 이 경우 상한과 하한이 유일하게 존재한다. 격자 이론에서는 부분 집합 상한을 통상적으로 이음(영어: join) 이라고 부르며, 부분 집합 하한만남(영어: meet) 이라고 한다. 완비 격자의 사상은 두 완비 격자 사이의 완비 원격자 사상이다.

범주론적 정의[편집]

원순서 집합작은 얇은 범주로 간주할 수 있으며, 이 경우 상한쌍대 극한, 하한극한에 대응된다. 따라서, 위의 순서론적 정의들을 범주론적 언어로 재서술할 수 있다.

모든 작은 쌍대 완비 범주는 항상 원순서 집합(얇은 범주)이며, 이러한 조건을 만족시키는 작은 범주를 상완비 원반격자(上完備原半格子, 영어: upper-complete presemilattice)라고 한다.

마찬가지로, 모든 작은 완비 범주는 항상 원순서 집합(얇은 범주)이며, 이러한 조건을 만족시키는 작은 범주를 하완비 원반격자(下完備原半格子, 영어: lower-complete presemilattice)라고 한다.

작은 범주에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 완비 원격자(完備原格子, 영어: complete prelattice)라고 한다.

이는 수반 함자 정리에 의하여 함의된다.

완비 원격자에서, 만약 서로 동형인 두 대상이 항상 같다면, 이를 완비 격자(영어: complete lattice)라고 한다.

성질[편집]

이름과 같이, 완비 격자는 격자를 이루며, 또한 항상 유계 격자를 이룬다. (공집합의 이음과 만남이 각각 최대·최소 원소이다.) 반대로, 모든 유한 격자는 완비 격자이다.

전순서 집합에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

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집합론[편집]

집합 위의 멱집합 격자 는 완비 격자이다.

집합 위의 동치 관계들의 집합 에, 만약

라면

라고 정의하자. 그렇다면 는 완비 격자이다.

위상수학[편집]

위상 공간 에 대하여, 열린집합들의 부분 순서 집합은 완비 격자이자 헤이팅 대수이다.

닫힌구간 은 콤팩트 전순서 집합이므로 완비 격자이다.

대수학[편집]

에 대하여, 부분군들의 (포함 관계에 대한) 부분 순서 집합은 완비 격자이다.

에 대하여, 아이디얼들의 (포함 관계에 대한) 부분 순서 집합은 완비 격자이다.

양의 정수의 집합 에서, 인수 관계 를 가하면, 은 완비 격자를 이룬다.

참고 문헌[편집]

외부 링크[편집]