아이디얼

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아이디얼(ideal)은 의 특정한 조건(아래 정의 참고)을 만족하는 부분집합을 의미하며, 예를 들면 정수 집합으로 된 환의 경우, 짝수의 집합이나 3의 배수의 집합 등이 아이디얼이 된다. 환의 아이디얼 집합들은 정수환에서 등장하는 특정 성질들을 비슷하게 적용할 수 있고, 따라서 아이디얼의 개념은 정수론을 보다 일반적인 환에 대해 확장하기 위한 것으로 볼 수 있다.

환론에서는 소수의 개념을 확장한 소 아이디얼을 다루며, 서로소인 수의 개념을 확장해 서로소인 아이디얼을 정의하고, 이렇게 확장된 의미에서 중국인의 나머지 정리를 증명할 수 있다. 수론에서 중요한 개념인 데데킨트 정역의 경우, 아이디얼에 대해 산술의 기본정리까지도 성립함을 보일 수 있다. (즉, 임의의 0이 아닌 아이디얼은 소 아이디얼들의 곱으로 유일하게 표현할 수 있다.)

군론에서 정규부분군으로 나눠 몫군을 만드는 것과 마찬가지로, 환론에서는 환을 아이디얼로 나눠 몫환을 만들 수 있다.

정의[편집]

R이 이고, (R, +)가 그 환이 가진 덧셈군 구조이며, I가 R의 부분집합으로서 (I, +)가 (R, +)의 부분군이라 하자. 이때

  • I가 R의 우아이디얼(right ideal)이라 함은 I의 임의의 원소 x와 R의 임의의 원소 r에 대해 xr이 I의 원소인 경우를 말한다.
  • I가 R의 좌아이디얼(left ideal)이라 함은 I의 임의의 원소 x와 R의 임의의 원소 r에 대해 rx가 I의 원소인 경우를 말한다.

즉, 우아이디얼의 원소는 우측에 곱셈을 해도 여전히 그 우아이디얼을 벗어나지 않으며, 좌아이디얼의 원소는 좌측에 곱셈을 해도 그 좌아이디얼을 벗어나지 않는다. 예를 들어, 임의의 R의 원소 p에 대해 pR은 우아이디얼이고 Rp는 좌아이디얼이다. 이들은 각각 p에 의해 생성되는 주 우아이디얼(principal right ideal) 및 주 좌아이디얼이라고 불린다.

R의 좌아이디얼은 반환(opposite ring) Ro의 우아이디얼과 일치하며, 이는 반대로도 성립한다. 양측 아이디얼(two-sided ideal)은 좌아이디얼인 동시에 우아이디얼인 부분집합을 말하며, 많은 경우 수식어가 없이 그냥 아이디얼이라고 하면 양측 아이디얼을 말한다. R이 가환환일 때는 좌아이디얼과 우아이디얼 및 양측 아이디얼은 전부 같은 개념이 되며, 따라서 수식어 없이 '아이디얼'이라는 표현만을 사용한다.

R의 아이디얼 I가 R 전체가 아닐 경우, 이를 진 아이디얼(proper ideal)이라고 한다.

아이디얼의 종류[편집]

  • 주의: 여기에서 모든 환은 가환인 것으로 한다. 비가환인 경우는 해당 문서에서 자세히 다룬다.

극대 아이디얼[편집]

I가 진 아이디얼일 때, I보다 큰 (즉, I를 포함하면서 I와 같지 않은) 진 아이디얼이 존재하지 않을 경우 이를 극대 아이디얼이라 한다. 환을 극대 아이디얼로 나눈 몫은 가 된다.

소 아이디얼 (Prime Ideal)[편집]

I가 진 아이디얼일 때, R의 임의의 원소 a와 b에 대해 ab가 I의 원소라면 언제나 a와 b 중 적어도 하나는 I의 원소일 경우, 이를 소 아이디얼이라 한다. 환을 소 아이디얼로 나눈 몫은 정역이 된다.

성질[편집]

  • 아이디얼이 환 전체가 아닐 필요충분조건은 1을 포함하지 않는다는 것이다.
  • 진 아이디얼들은 부분집합 포함관계에 따라 부분 순서가 주어지며, 여기에 초른의 보조정리를 적용하면 모든 진 아이디얼이 극대 아이디얼에 포함되어 있음을 보일 수 있다.
  • 모든 아이디얼은 0을 포함하며, 따라서 공집합이 아니다.
  • 정수 Z가 갖는 모든 아이디얼은 어떤 정수 a에 의해 생성되는 주 아이디얼뿐이다. 이 성질의 따름정리는 다름 아닌 나눗셈 정리이다.
  • 환 R은 자기 자신 상의 좌 가군으로 볼 수 있으며, 이때 R의 좌 아이디얼들은 R의 부분가군이다. 마찬가지로 R의 우 아이디얼들은 R을 우 가군으로 본 것의 부분가군이며, 양측 아이디얼들은 R을 bimodule로 본 것의 부분가군이다. R이 가환이라면 이 3가지 경우를 구별할 필요가 없다.

함께 보기[편집]