정규 부분군

군론에서 정규 부분군(正規部分群, 영어: normal subgroup)은 내부자기동형사상에 대해 불변인 부분군을 말한다. 정규 부분군에 대하여 몫군을 취할 수 있다.

정의

군 $G$의 부분군 $N\leq G$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 부분군을 $G$의 정규 부분군이라고 한다.

• 임의의 $g\in G$에 대하여, $gNg^{-1}\subseteq N$
• 임의의 $g\in G$에 대하여, $gNg^{-1}=N$. 즉, 내부자기동형사상에 대하여 불변이다.
• 임의의 $g\in G$에 대하여, $gN=Ng$. 즉, 좌잉여류와 우잉여류가 일치한다.
• $\ker \phi =N$인 군 준동형 $\phi \colon G\to H$가 존재한다.
• 정규화 부분군이 $G$ 전체이다. 즉, $\operatorname {N} _{G}(N)=G$이다.
• 정규핵이 자기 자신이다. 즉, $\operatorname {Core} _{G}(N)=N$이다.

$N$이 $G$의 정규 부분군임을 다음과 같이 표기한다.

$N\vartriangleleft G$

성질

군 $G$의 부분군 $N\leq G$이 정규 부분군이 될 충분 조건은 다음이 있다.

• $G$는 아벨 군이다.
• $N$은 $G$의 중심이다.
• $N$은 자명군이다.
• $N=G$이다.
• $G$는 유한군이며, $N$의 지표 $|G|/|N|$는 $|G|$의 가장 작은 소인수이다.
• $G$는 유한군이며, $N$의 지표 $|G|/|N|$는 2이다.
• $N$은 $G$의 특성 부분군이다.

증명 (지표가 최소 소인수 ⇒ 정규 부분군):

$N=\operatorname {Core} _{G}(N)$임을 보이는 것으로 족하다. $p$가 $|G|$의 최소 소인수라고 하자. $\operatorname {Core} _{G}(N)$은 군의 작용

$G\to \operatorname {Sym} (G/N)$

$g\mapsto (g'\mapsto gg'N)\qquad (g,g'\in G)$

의 핵이므로, 몫군

$G/{\operatorname {Core} _{G}(N)}$

은 대칭군 $\operatorname {Sym} (p)$의 부분군과 동형이며, 그 크기는 대칭군의 크기 $p!$의 약수이다. 즉, 몫군

$N/{\operatorname {Core} _{G}(N)}$

의 크기는 $(p-1)!$의 약수이다. 그러나 위 몫군의 크기는 $p$ 미만의 소인수를 가질 수 없다. 따라서 크기는 1이다.

군 $G$의 정규 부분군 $N\vartriangleleft G$가 주어졌다면, 몫군 $G/N$에서 $N$의 외부자기동형군 $\operatorname {Out} N$로 가는 자연스러운 군 준동형이 존재한다.

$G/N\to \operatorname {Out} N=\operatorname {Aut} N/\operatorname {Inn} N$

이는 다음과 같은 가환 그림에 의하여 정의된다. 여기서 길이가 5인 행 및 열은 짧은 완전열이다.

${\begin{matrix}&&1&&1&&1\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\1&\to &\operatorname {Z} (N)&\hookrightarrow &\operatorname {C} _{G}(N)&\twoheadrightarrow &\operatorname {C} _{G}(N)/\operatorname {Z} (N)&\to &1\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\1&\to &N&\hookrightarrow &G&\twoheadrightarrow &G/N&\to &1\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\1&\to &\operatorname {Inn} N&\hookrightarrow &\operatorname {Aut} N&\twoheadrightarrow &\operatorname {Out} N&\to &1\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\&&1&&1&&1\end{matrix}}$

여기서 준동형 $G\to \operatorname {Aut} N$은 $g\mapsto (n\mapsto gng^{-1})$이며, $N\to \operatorname {Inn} N$은 $n\mapsto (m\mapsto nmn^{-1})$이다.

특히, $N$이 아벨 정규 부분군일 경우, $\operatorname {Inn} N$이 자명군이며 $\operatorname {Out} N\cong \operatorname {Inn} N$이므로, 다음과 같은 자연스러운 군 준동형을 얻는다.

$G/N\to \operatorname {Aut} N$

$gN\mapsto (n\mapsto gng^{-1})$

예

유클리드 군 $\operatorname {IO} (n)=\mathbb {R} ^{n}\rtimes \operatorname {O} (n)$은 평행 이동의 군 $\mathbb {R} ^{n}$을 정규 부분군으로 갖는다. 반면, 회전군 $\operatorname {O} (n)$은 부분군이지만 정규 부분군이 아니다.

역사

정규 부분군의 중요성을 처음으로 인식한 사람은 에바리스트 갈루아였다.

같이 보기

• 단순군
• 특성 부분군
• 아이디얼

참고 문헌

• Dummit, David S.; Richard M. Foote (2004). 《Abstract Algebra》 (영어) 3판. Wiley. ISBN 978-0-471-43334-7. Zbl 1037.00003.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
• Lang, Serge (2002). 《Algebra》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 211 3판. Springer. doi:10.1007/978-1-4613-0041-0. ISBN 978-1-4612-6551-1. ISSN 0072-5285. MR 1878556. Zbl 0984.00001.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)

외부 링크

• “Normal subgroup”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Normal subgroup”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Normal subgroup”. 《Groupprops》 (영어). 2015년 3월 18일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 4월 30일에 확인함. 
• “Nonstandard definitions of normal subgroup”. 《Groupprops》 (영어). 2015년 4월 15일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 4월 30일에 확인함. 
• “Abelian normal subgroup”. 《Groupprops》 (영어). 2015년 4월 15일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 4월 30일에 확인함.