내부자기동형사상

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군론에서, 내부자기동형사상(內部自己準同型寫像, 영어: inner automorphism)은 의 원소를 고정 원소에 대한 켤레 원소에 대응시키는 군 자기동형사상이다.

정의[편집]

군의 원소 에 대한 내부자기동형사상은 다음과 같다.

내부자기동형군 위 내부자기동형사상이 이루는 군이다. 이는 자기동형군 정규 부분군이다.

켤레류[편집]

군의 서로 켤레 원소 가 존재하는 두 원소이다. 서로 켤레는 군 위의 동치 관계이다.

군의 원소 켤레류(-類, 영어: conjugacy class) 또는 공액류(共軛類)는 다음과 같은 집합이다.

이는 위의 켤레 관계에 대한 동치류이다. 즉, 군을 분할한다. 또한, 켤레류는 내부자기동형사상이 유도하는 군의 작용궤도이다.

성질[편집]

내부자기동형군은 자기동형군정규 부분군이다.

이에 대한 몫군

외부자기동형군이라고 한다.

군의 원소를 그에 대한 내부자기동형사상에 대응시키는 군 준동형

은 내부자기동형군이며, 은 군의 중심이다. 따라서 다음 동형이 성립한다.

켤레류 방정식[편집]

이 군 준동형은 군의 작용으로 볼 때, 그 궤도는 켤레류이며, 안정자군중심화 부분군이다. 따라서 다음과 같은 항등식이 성립하며, 이를 켤레류 방정식(영어: class equation)이라고 한다.

여기서

  • 는 크기 1 이상의 켤레류들이다.
  • 는 중심화 진부분군들이다.
  • 는 중심이다. 중심의 원소일 조건은 켤레류가 한원소 집합일 조건 및 중심화 부분군이 일 조건과 동치이다.