중심화 부분 모노이드

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추상대수학에서, 중심화 부분 모노이드(中心化部分monoid, 영어: centralizer (submonoid), commutant)는 어떤 모노이드부분 집합과 가환하는 모든 원소로 구성된 부분 모노이드이다.

의 부분 집합의 중심화 부분 모노이드는 부분군을 이루며, 이 경우 이를 중심화 부분군(中心化部分群, 영어: centralizer (subgroup))이라고 한다. 마찬가지로, 의 (곱셈 모노이드의) 중심화 부분 모노이드는 부분환을 이루며, 중심화 부분환(中心化部分環, 영어: centralizer (subring))이라고 한다. 이중 중심화 부분환의 개념은 폰 노이만 대수의 이론에 등장한다.

정의[편집]

모노이드 의 부분 집합 중심화 부분 모노이드는 다음과 같은 부분 집합이다.[1]:41, §1.4[2]:AI.7, Définition A1.9

이는 부분 모노이드를 이룬다. (함수해석학에서는 보통 이를 으로 표기한다.)

이중 중심화 부분 모노이드(영어: double centralizer, bicentralizer, bicommutant) 은 그 중심화 부분 모노이드의 중심화 부분 모노이드이다.[2]:AI.8

성질[편집]

일반적 모노이드 부분 집합에 대하여, 다음이 성립한다.

[2]:AI.8
[2]:AI.7

여기서 모노이드의 중심이다.

이에 따라, 중심화 부분 모노이드를 취하는 연산은 순서 보존 함수

를 이룬다. (여기서 멱집합에 부분 집합 관계를 부여하여 얻은 부분 순서 집합이며, 은 그 반대 부분 순서를 부여한 부분 순서 집합이다.)

이중 중심화 부분 모노이드[편집]

일반적 모노이드 부분 집합에 대하여, 다음이 성립한다.

이에 따라, 이중 중심화 부분 모노이드를 취하는 연산은 순서 보존 함수

를 이룬다.

특히, 집합 위에 폐포

를 정의하면, 이는 위의 알렉산드로프 위상을 정의한다.

[편집]

의 부분 집합의 가환식은 항상 부분군을 이루며, 중심화 부분군이라고 한다.

의 부분 집합 의 중심화 부분군은 항상 정규화 부분군정규 부분군이다. 즉, 다음이 성립한다.

여기서 군의 중심이며, 정규화 부분군이다.

한원소 집합의 경우 중심화 부분군은 정규화 부분군과 같다.

의 부분군 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • . 즉, 는 이중 중심화 부분군 연산의 고정점이다.
  • 가 되는 부분 집합 가 존재한다. 즉, 는 중심화 부분군 연산의 에 속한다.

임의의 두 군 , 군 준동형

에 대하여, 반직접곱 및 포함 사상 을 정의할 수 있다. 이 경우, 다음이 성립한다.

[편집]

의 부분 집합 의 (곱셈에 대한) 가환식 는 (1을 포함하는) 부분환을 이룬다. 이를 중심화 부분환(中心化部分環, 영어: centralizer subring)이라고 한다.

임의의 나눗셈환 의 임의의 부분 집합 에 대하여, 중심화 부분환 역시 나눗셈환이다.

증명:

부분환이므로, 가역원에 대하여 닫혀 있음을 보이면 족하다. 임의의 에 대하여, 이다.

가군[편집]

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

  • -쌍가군

그렇다면, -오른쪽 가군자기 사상환

을 정의할 수 있으며, -왼쪽 가군을 이룬다.

또한, 자연스러운 환 준동형

이 존재한다. 이 경우, 정의에 따라

이다. (여기서 우변은 -오른쪽 가군자기 사상환이다.)

만약 가 이중 중심화 부분환 연산의 고정점이라면, 즉 만약

이라면, 균형 잡힌 가군이라고 한다.

폰 노이만 대수[편집]

복소수 힐베르트 공간 위의 유계 작용소 폰 노이만 대수 의 부분 대합 대수 를 생각하자. (즉, 복소수 결합 대수를 이루며, 에르미트 수반에 대하여 닫혀 있다고 하자.) 이 경우, 폰 노이만 이중 중심화 정리(영어: von Neumann bicommutant theorem)에 따르면 다음 집합들이 서로 일치한다.

  • 의 이중 중심화 부분환
  • 약한 작용소 위상에서의 폐포
  • 강한 작용소 위상에서의 폐포
  • 로부터 생성되는 폰 노이만 대수

(다만, 노름 거리 위상에서의 폐포는 항상 C* 대수를 이루지만 폰 노이만 대수가 되지 못할 수 있다.)

[편집]

만약 가환 모노이드일 경우, 임의의 부분 집합 에 대하여 이다. 즉, 아벨 군의 부분 집합의 중심화 부분군은 그 전체이며, 마찬가지로 가환환의 부분 집합의 중심화 부분환은 그 전체이다.

만약 로 생성되는 자유 모노이드일 경우, 임의의 부분 집합의 중심화 부분 모노이드는 다음과 같다.

사원수 대수 에서, 의 중심화 부분환은 이다. 보다 일반적으로, 임의의 에 대하여, 를 생각하면, 이다. 만약 이라면 는 (으로서) 복소수체와 동형이다.

참고 문헌[편집]

  1. Jacobson, Nathan (1985). 《Basic algebra I》 (영어) 2판. W. H. Freeman and Company. 
  2. Bourbaki, Nicolas (1970). 《Algèbre. Chapitres 1 à 3》. Éléments de mathématique (프랑스어). 파리: Masson. 

외부 링크[편집]