중심화 부분 모노이드

추상대수학에서 중심화 부분 모노이드(中心化部分monoid, 영어: centralizer (submonoid), commutant)는 어떤 모노이드의 부분 집합과 가환하는 모든 원소로 구성된 부분 모노이드이다.

군의 부분 집합의 중심화 부분 모노이드는 부분군을 이루며, 이 경우 이를 중심화 부분군(中心化部分群, 영어: centralizer (subgroup))이라고 한다. 마찬가지로, 환의 (곱셈 모노이드의) 중심화 부분 모노이드는 부분환을 이루며, 중심화 부분환(中心化部分環, 영어: centralizer (subring))이라고 한다. 이중 중심화 부분환의 개념은 폰 노이만 대수의 이론에 등장한다.

정의

모노이드 $M$의 부분 집합 $S\subseteq M$의 중심화 부분 모노이드는 다음과 같은 $M$의 부분 집합이다.^{:41, §1.4:AI.7, Définition A1.9}

$\operatorname {C} _{M}(S)=\{x\in M\colon \forall s\in S\colon sx=xs\}$

이는 $M$의 부분 모노이드를 이룬다. (함수해석학에서는 보통 이를 $(-)'$으로 표기한다.)

$S$의 이중 중심화 부분 모노이드(영어: double centralizer, bicentralizer, bicommutant) $\operatorname {C} _{M}(\operatorname {C} _{M}(S))\subseteq M$은 그 중심화 부분 모노이드의 중심화 부분 모노이드이다.^:AI.8

성질

일반적 모노이드 $M$의 부분 집합에 대하여, 다음이 성립한다.

$\operatorname {C} _{M}(\varnothing )=\operatorname {C} _{M}(\operatorname {Z} (M))=M$

$\operatorname {C} _{M}(M)=\operatorname {Z} (M)$

$\forall S\subseteq M\colon \operatorname {C} _{M}(S)=\operatorname {C} _{M}(\operatorname {C} _{M}(\operatorname {C} _{M}(S)))$^:AI.8

$\forall S\subseteq M\colon \operatorname {Z} (M)\subseteq \operatorname {C} _{M}(S)$

$\forall S\subseteq M\colon \operatorname {C} _{M}(S)=\bigcap _{s\in S}\operatorname {C} _{M}(\{s\})$

$\forall {\mathcal {S}}\subseteq \operatorname {Pow} (M)\colon \operatorname {C} _{M}\left(\bigcup {\mathcal {S}}\right)=\bigcap _{S\in {\mathcal {S}}}\operatorname {C} _{M}(S)$^:AI.7

$\forall S,T\subseteq M\colon S\subseteq T\implies \operatorname {C} _{M}(S)\supseteq \operatorname {C} _{M}(T)$

여기서 $\operatorname {Z} (-)$는 모노이드의 중심이다.

이에 따라, 중심화 부분 모노이드를 취하는 연산은 순서 보존 함수

$\operatorname {C} _{M}(-)\colon \operatorname {Pow} (M)\to \operatorname {Pow} (M)^{\operatorname {op} }$

를 이룬다. (여기서 $\operatorname {Pow} (M)$은 멱집합에 부분 집합 관계를 부여하여 얻은 부분 순서 집합이며, $(-)^{\operatorname {op} }$은 그 반대 부분 순서를 부여한 부분 순서 집합이다.)

이중 중심화 부분 모노이드

일반적 모노이드 $M$의 부분 집합에 대하여, 다음이 성립한다.

$\operatorname {C} _{M}(\operatorname {C} _{M}(\varnothing ))=\operatorname {Z} (M)$

$\operatorname {C} _{M}(M))=M$

$\forall S\subseteq M\colon S\subseteq \operatorname {C} _{M}(\operatorname {C} _{M}(S))=\operatorname {C} _{M}(\operatorname {C} _{M}(\operatorname {C} _{M}(\operatorname {C} _{M}(S))))$

$\forall {\mathcal {S}}\subseteq \operatorname {Pow} (M)\colon \operatorname {C} _{M}\left(\operatorname {C} _{M}\left(\bigcup {\mathcal {S}}\right)\right)=\bigcup _{S\in {\mathcal {S}}}\operatorname {C} _{M}(\operatorname {C} _{M}(S))$

$\forall S,T\subseteq M\colon S\subseteq T\implies \operatorname {C} _{M}(\operatorname {C} _{M}(S))\subseteq \operatorname {C} _{M}(\operatorname {C} _{M}(T))$

이에 따라, 이중 중심화 부분 모노이드를 취하는 연산은 순서 보존 함수

$\operatorname {C} _{M}(\operatorname {C} _{M}(-))\colon \operatorname {Pow} (M)\to \operatorname {Pow} (M)$

를 이룬다.

특히, 집합 $M\setminus \operatorname {Z} (M)$ 위에 폐포

$\operatorname {cl} (S)=\operatorname {C} _{M}(S)\setminus \operatorname {Z} (M)\qquad (S\subseteq M\setminus \operatorname {Z} (M))$

를 정의하면, 이는 $M\setminus \operatorname {Z} (M)$ 위의 알렉산드로프 위상을 정의한다.

군

군의 부분 집합의 가환식은 항상 부분군을 이루며, 중심화 부분군이라고 한다.

군 $G$의 부분 집합 $S$의 중심화 부분군은 항상 $S$의 정규화 부분군의 정규 부분군이다.

$\operatorname {Z} (G)\trianglelefteq \operatorname {C} _{G}(S)\trianglelefteq \operatorname {N} _{G}(S)$

여기서 $\operatorname {Z} (-)$는 군의 중심이며, $\operatorname {N} _{G}(-)$는 정규화 부분군이다.

군 $G$의 부분군 $H\leq G$의 정규화 부분군과 중심화 부분군의 몫군은 $H$의 자기 동형군의 부분군과 동형이다 (N/C 정리, 영어: N/C theorem).

$\operatorname {N} _{G}(H)/\operatorname {C} _{G}(H)\lesssim \operatorname {Aut} (H)$

여기서 $\operatorname {Aut} (-)$는 자기 동형군이다.

한원소 집합의 경우 중심화 부분군은 정규화 부분군과 같다.

$\operatorname {C} _{G}(\{g\})=\operatorname {N} _{G}(\{g\})\qquad \forall g\in G$

군 $G$의 부분군 $H\leq G$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $H=\operatorname {C} _{G}(\operatorname {C} _{G}(H))$. 즉, $H$는 이중 중심화 부분군 연산의 고정점이다.
• $H=\operatorname {C} _{G}(S)$가 되는 부분 집합 $S\subseteq G$가 존재한다. 즉, $H$는 중심화 부분군 연산의 상에 속한다.

임의의 두 군 $H$, $K$ 및 군 준동형

$\phi \colon K\to \operatorname {Aut} (H)$

에 대하여, 반직접곱 $H\rtimes _{\phi }K$ 및 포함 사상 $H,K\subseteq H\rtimes _{\phi }K$을 정의할 수 있다. 이 경우, 다음이 성립한다.

$\operatorname {C} _{H\rtimes _{\phi }K}(K)\cap H=\operatorname {N} _{H\rtimes _{\phi }K}(K)\cap H$

$\operatorname {C} _{H\rtimes _{\phi }K}(H)\cap K=\ker \phi$

환

환 $R$의 부분 집합 $S\subseteq R$의 (곱셈에 대한) 가환식 $S'\subseteq R$는 (1을 포함하는) 부분환을 이룬다. 이를 중심화 부분환(中心化部分環, 영어: centralizer subring)이라고 한다.

임의의 나눗셈환 $K$의 임의의 부분 집합 $S\subseteq K$에 대하여, 중심화 부분환 $\operatorname {C} _{K}(S)$ 역시 나눗셈환이다.

증명:

$\operatorname {C} _{K}(S)$는 부분환이므로, 가역원에 대하여 닫혀 있음을 보이면 족하다. 임의의 $a\in \operatorname {C} _{K}(S)\setminus \{0\}$ 및 $s\in S$에 대하여, $a^{-1}s=a^{-1}saa^{-1}=a^{-1}asa^{-1}=sa^{-1}$이다.

가군

 이 부분의 본문은 균형 잡힌 쌍가군입니다.

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 환 $R$
• 환 $S$
• $(R,S)$-쌍가군 $_{R}M_{S}$

그렇다면, $S$-오른쪽 가군의 자기 사상환

$\operatorname {End} (M_{S})$

을 정의할 수 있으며, $M$은 $\operatorname {End} (M_{S})$-왼쪽 가군을 이룬다.

또한, 자연스러운 환 준동형

$\phi _{M}\colon R\to \operatorname {End} (M_{S})$

$\phi _{M}r\colon m\mapsto rm\qquad (r\in R,\;m\in M)$

이 존재한다. 이 경우, 정의에 따라

$\operatorname {C} _{\operatorname {End} (M_{\mathbb {Z} })}(\phi _{M}(R))=\operatorname {End} (M_{R})$

이다. (여기서 우변은 $R$-오른쪽 가군의 자기 사상환이다.)

만약 $\phi _{M}(R)$가 이중 중심화 부분환 연산의 고정점이라면, 즉 만약

$\operatorname {C} _{\operatorname {End} (M_{\mathbb {Z} })}(\operatorname {C} _{\operatorname {End} (M_{\mathbb {Z} })}(\phi _{M}(R)))=\phi _{M}(R)$

이라면, $M$을 균형 잡힌 가군이라고 한다.

폰 노이만 대수

 폰 노이만 대수 문서를 참고하십시오.

복소수 힐베르트 공간 $V$ 위의 유계 작용소 폰 노이만 대수 $\operatorname {B} (V,V)$의 부분 대합 대수 $S\subseteq \operatorname {B} (V,V)$를 생각하자. (즉, $S$는 복소수 결합 대수를 이루며, 에르미트 수반에 대하여 닫혀 있다고 하자.) 이 경우, 폰 노이만 이중 중심화 정리(영어: von Neumann bicommutant theorem)에 따르면 다음 집합들이 서로 일치한다.

• $S$의 이중 중심화 부분환 $\operatorname {C} _{\operatorname {B} (V,V)}(\operatorname {C} _{\operatorname {B} (V,V)}(S))$
• $S$의 약한 작용소 위상에서의 폐포
• $S$의 강한 작용소 위상에서의 폐포
• $S$로부터 생성되는 폰 노이만 대수

(다만, $S$의 노름 거리 위상에서의 폐포는 항상 C* 대수를 이루지만 폰 노이만 대수가 되지 못할 수 있다.)

예

만약 $M$이 가환 모노이드일 경우, 임의의 부분 집합 $S\subseteq M$에 대하여 $S'=M$이다. 즉, 아벨 군의 부분 집합의 중심화 부분군은 그 전체이며, 마찬가지로 가환환의 부분 집합의 중심화 부분환은 그 전체이다.

만약 $M=\Sigma ^{*}$가 $\Sigma$로 생성되는 자유 모노이드일 경우, 임의의 부분 집합의 중심화 부분 모노이드는 다음과 같다.

$\operatorname {C} _{\Sigma ^{*}}(S)=\{s\in \Sigma ^{*}\colon \{s\}^{*}\supseteq S\}^{*}$

사원수 대수 $\mathbb {H}$에서, $\mathrm {i}$의 중심화 부분환은 $\mathbb {R} +\mathbb {R} i$이다. 보다 일반적으로, 임의의 $x\in \mathbb {H}$에 대하여, $\operatorname {Im} x=(x-{\bar {x}})/2$를 생각하면, $\operatorname {C} _{\mathbb {H} }(\{x\})=\mathbb {R} +\mathbb {R} \operatorname {Im} x$이다. 만약 $\operatorname {Im} x\neq 0$이라면 $\operatorname {C} _{\mathbb {H} }(\{x\})$는 (환으로서) 복소수체와 동형이다.

외부 링크

• “Centralizer”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Centeralizer”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Commutant”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Bicommutant”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Bicommutant theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Centralizer of ring subset is subring”. 《ProofWiki》 (영어). 
• “Centralizer”. 《ProofWiki》 (영어). 
• Bloomfield, Nathan (2007년 1월 23일). “An alternate characterization of centralizer”. 《Project Crazy Project》 (영어). 
• Bloomfield, Nathan (2007년 1월 23일). “Centralizer is inclusion-reversing”. 《Project Crazy Project》 (영어). 
• Bloomfield, Nathan (2010년 5월 5일). “Normalizer and centralizer commute with inner automorphisms”. 《Project Crazy Project》 (영어). 
• Bloomfield, Nathan (2010년 6월 24일). “The centralizer and normalizer of a nonnormal semidirect factor in a normal semidirect factor are equal”. 《Project Crazy Project》 (영어). 
• Bloomfield, Nathan (2010년 6월 24일). “In a semidirect product, the centralizer of the normal factor in the nonnormal factor is the kernel of the defining homomorphism”. 《Project Crazy Project》 (영어). 
• Bloomfield, Nathan (2010년 7월 6일). “Two consequences of Frattini’s argument regarding normalizers and centralizers”. 《Project Crazy Project》 (영어). 
• Bloomfield, Nathan (2010년 7월 30일). “Basic properties of centralizers in a ring”. 《Project Crazy Project》 (영어). 
• Bloomfield, Nathan (2010년 7월 30일). “In a division ring, every centralizer is a division ring”. 《Project Crazy Project》 (영어).