쌍가군

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환론에서, 쌍가군(雙加群, 영어: bimodule 바이모듈[*])은 왼쪽 가군오른쪽 가군의 구조를 동시에 가지며, 두 구조가 서로 교환 법칙을 만족시키는 대수 구조이다.

정의[편집]

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, -쌍가군(영어: -bimodule) 은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

  • 아벨 군
  • 위의 -왼쪽 가군 구조
  • 위의 -오른쪽 가군 구조

이는 다음과 같은 호환 조건을 만족시켜야 한다.

  • 모든 , , 에 대하여,

보다 일반적으로, 가환환 -단위 결합 대수 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, -쌍가군 은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

  • 아벨 군
  • 위의 -왼쪽 가군 구조
  • 위의 -오른쪽 가군 구조

이는 다음과 같은 호환 조건을 만족시켜야 한다.

  • 모든 , , 에 대하여,
  • 모든 에 대하여,

-쌍가군은 일 때 -쌍가군의 개념과 같다.

-쌍가군 , 사이의 쌍가군 준동형(영어: bimodule homomorphism) 은 다음 조건들을 만족시키는 아벨 군 준동형이다.

  • -왼쪽 가군가군 준동형을 이룬다. 즉, 이다.
  • -오른쪽 가군가군 준동형을 이룬다. 즉, 이다.

성질[편집]

가군과의 관계[편집]

다음 네 개념들이 서로 동치이다.

  • -쌍가군
  • -쌍가군
  • -왼쪽 가군
  • -오른쪽 가군

(여기서 반대환을 뜻한다.)

다음 세 개념들이 서로 동치이다.

  • 아벨 군
  • -가군
  • -쌍가군

에 대하여, 다음 네 개념들이 서로 동치이다.

  • -왼쪽 가군
  • -오른쪽 가군
  • -쌍가군
  • -쌍가군

에 대하여, 다음 네 개념들이 서로 동치이다.

  • -오른쪽 가군
  • -왼쪽 가군
  • -쌍가군
  • -쌍가군

가환환 에 대하여, 다음 네 개념들이 서로 동치이다.

  • -가군
  • -쌍가군
  • -쌍가군
  • -쌍가군

또한, 위 개념들에 대한 준동형들 또한 서로 동치이다. 예를 들어, -쌍가군 준동형은 -왼쪽 가군가군 준동형과 같은 개념이다.

즉, 쌍가군의 개념은 가군의 개념의 특수한 경우로 생각할 수 있으며, 반대로 가군의 개념을 쌍가군의 개념의 특수한 경우로 생각할 수 있다.

가환환 에 대하여, 모든 -가군 (즉, -쌍가군)은 망각을 통하여 -쌍가군을 이루지만, 일반적으로 -쌍가군이 아닌 -쌍가군이 존재한다.

텐서곱 가군과 준동형 가군[편집]

-쌍가군 -쌍가군 이 주어졌을 때, 텐서곱

은 자연스럽게 -쌍가군을 이룬다. 이는 쌍가군 범주의 가법 함자

를 정의한다.

또한, -쌍가군 -쌍가군 가 주어졌을 때, 왼쪽 가군 준동형군

를 통해 -쌍가군을 이룬다. 이는 쌍가군 범주의 가법 함자

를 정의한다. 반대로, 오른쪽 가군 준동형을 사용한다면 -쌍가군 -쌍가군 가 주어졌을 때, 준동형군

를 통해 쌍가군을 이루며, 쌍가군 범주의 가법 함자

를 정의한다.

이는 다음과 같이 수반 함자를 이룬다.

특히, 또는 또는 를 놓으면 각종 가군 범주 위의 다음과 같은 가법 함자들을 얻는다.

쌍가군의 2-범주[편집]

임의의 가환환 -단위 결합 대수 , 에 대하여, -쌍가군을 대상으로 하고, -쌍가군 준동형을 사상으로 하는 범주 가 존재한다. 인 경우 이는 단순히 로 표기한다.

보다 일반적으로, 가환환 에 대하여 다음과 같은 2-범주 가 존재한다.

  • 의 대상은 -단위 결합 대수이다. (즉, 의 대상과 같다.)
  • 에서, 단위 결합 대수 , 사이의 1-사상은 -쌍가군 이다. 정의역, 공역이다.
    • 두 쌍가군 , 의 합성은 쌍가군의 텐서곱 이다.
    • 위의 항등 사상이다.
  • 같은 정의역공역을 갖는 두 1-사상 , 사이의 2-사상은 -쌍가군 준동형이다. 즉, 범주로서 이다.

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아이디얼[편집]

왼쪽 아이디얼-왼쪽 가군을 이루며, 오른쪽 아이디얼-오른쪽 가군을 이룬다. 양쪽 아이디얼 -쌍가군을 이룬다.

특히, 전체는 의 양쪽 아이디얼이며, 따라서 -쌍가군을 이룬다.

보다 일반적으로, 가환환 위의 단위 결합 대수 가 주어졌을 때, -가군을 이루는 -양쪽 아이디얼 -쌍가군을 이룬다. 특히, 전체는 -쌍가군을 이룬다.

부분환[편집]

-쌍가군 의 부분환 의 부분환 가 주어졌을 때, 은 망각을 통해 자연스럽게 -쌍가군을 이룬다.

특히, 환 의 부분환 가 주어졌을 때, 쌍가군 에 망각을 가하여 쌍가군 를 정의할 수 있다.

가군의 자기 사상[편집]

위의 오른쪽 가군 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 가법 범주이므로 자기 사상 집합 을 이룬다. 이 자기 사상환의 왼쪽에 자연스럽게 작용하며, 따라서 -쌍가군을 이룬다.

마찬가지로, 위의 왼쪽 가군 은 자연스럽게 -쌍가군을 이룬다.

이 구성은 모리타 동치의 정의에 등장한다.

행렬 쌍가군[편집]

위의 행렬로 구성된 아벨 군 을 생각하자. 만약 이라면 (즉, 정사각 행렬이라면) 을 이룬다.

행렬의 곱셈은 자연스러운 -쌍선형 함수 를 이룬다. 이에 따라, 는 자연스럽게 -쌍가군을 이룬다.

물론, 는 (대각 행렬로서) 부분환을 이룬다. 이에 따라, -쌍가군을 이룬다. 이 경우, 는 단순히 자유 가군 으로 생각할 수 있다.

응용[편집]

쌍가군에 대하여, 호흐실트 호몰로지호흐실트 코호몰로지를 정의할 수 있다.

쌍가군의 개념은 모리타 동치모리타 쌍대성을 정의할 때 쓰인다.


외부 링크[편집]