실수 항등 함수의 그래프
수학에서 항등 함수(恒等函數, 영어: identity function) 또는 항등 사상(恒等寫像, 영어: identity map), 항등 변환(恒等變換, 영어: identity transformation)은 정의역과 공역이 같고, 모든 원소를 자기 자신으로 대응시키는 함수이다.
집합
의 항등 함수
는 다음과 같은 함수이다.
![{\displaystyle \operatorname {id} _{X}\colon X\to X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7089bdafaf97e893b70a5f96416668c41af4716)
- 임의의
에 대하여, ![{\displaystyle \operatorname {id} _{X}(x)=x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae79e9772437ab1a4309c978921ccc2a91d80882)
임의의 함수
에 대하여, 다음과 같은 항등식이 성립한다.
![{\displaystyle f\circ \operatorname {id} _{X}=\operatorname {id} _{Y}\circ f=f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/468880cb26a8e570a74db4004f740534ab31fdac)
즉, 항등 함수는 집합의 범주에서의 항등 사상이다. 특히,
의 자기 함수의 집합
는 함수의 합성에 대하여 모노이드를 이룬다.
임의의
에 대하여,
![{\displaystyle (f\circ \operatorname {id} _{X})(x)=f(\operatorname {id} _{X}(x))=f(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc77c9be18ef4f2d59f2cc563ea65ca05520bec8)
이므로,
![{\displaystyle f\circ \operatorname {id} _{X}=f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0d518e2f5b332c641ab9119394779bb7b3899b7)
이다. 마찬가지로 임의의
에 대하여,
![{\displaystyle (\operatorname {id} _{Y}\circ f)(y)=\operatorname {id} _{Y}(f(y))=f(y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54e34b97bbb2ba593bcfb7d0b083d6ac11e8d2cd)
이므로,
![{\displaystyle \operatorname {id} _{Y}\circ f=f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93b8830b3862b5dffff3ce7813e7083b70eee0a9)
이다.
임의의 함수
에 대하여, 다음과 두 조건이 서로 동치이다.
는 전단사 함수이다.
- 다음을 만족시키는 함수
가 존재한다. (이를
의 역함수라고 한다.)
![{\displaystyle f^{-1}\circ f=\operatorname {id} _{X}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc32e927e523d18d2c49b6ad29a6be645bad0436)
![{\displaystyle f\circ f^{-1}=\operatorname {id} _{Y}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7aa98f6bfb3b3dd459b72b68ad61efe1a78f1c45)
즉, 전단사 함수는 집합의 범주에서 동형 사상이다. 특히,
의 자기 전단사 함수의 집합
은 함수의 합성에 대하여 군을 이루며, 이를
의 대칭군이라고 한다.
양의 정수의 집합
의 항등 함수는 완전 곱셈적 함수에 속한다.
실수의 집합
의 항등 함수는 일차 함수에 속한다.
관련 개념[편집]
(범주 속의) 항등 사상[편집]
범주의 각 대상의 항등 사상(恒等寫像, 영어: identity morphism)은 항등 함수의 개념의 일반화이다. 이는 일종의 무정의 용어이다.
항등 함자[편집]
범주
의 항등 함자(恒等函子, 영어: identity functor)
는 다음과 같은 함자이다.
![{\displaystyle \operatorname {id} _{\mathcal {C}}\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a53c243850cf3f22af6b3f1d8a4298784d64118c)
- 모든 대상
에 대하여, ![{\displaystyle \operatorname {id} _{\mathcal {C}}(X)=X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5510250f3394ac3039d178bf534fa4afe2cfa3a0)
- 모든 대상
및 사상
에 대하여, ![{\displaystyle \operatorname {id} _{\mathcal {C}}(f)=f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/041a65c65825a8bbedadabe34be67655739093d2)
만약
가 작은 범주일 경우, 항등 함자
는 작은 범주의 범주에서의 항등 사상이다.
증명 (
는 함자):
항등 자연 변환[편집]
함자
의 항등 자연 변환(恒等自然變換, 영어: natural transformation)
는 다음과 같은 자연 변환이다.
![{\displaystyle \operatorname {id} _{F}\colon F\Rightarrow F}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c670542a0e69f1c63a70eba562c2d40d5599cb54)
- 모든 대상
에 대하여, ![{\displaystyle (\operatorname {id} _{F})_{X}=\operatorname {id} _{F(X)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bf02cb5c13fee4d731704088e071acacf7dea1b)
만약
와
가 작은 범주일 경우, 항등 자연 변환
는
와
사이의 함자 사이의 자연 변환의 범주에서의 항등 사상이다.
증명 (
는 자연 변환):
같이 보기[편집]
외부 링크[편집]