하르톡스 수

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집합론에서, 하르톡스 수(Hartogs數, 영어: Hartogs number)는 주어진 집합의 어떤 부분 집합과도 크기가 같지 않은 최소의 순서수이다.[1]:63

정의[편집]

순서수의 폰 노이만 정의를 취했을 때, 집합 하르톡스 수 단사 함수 가 존재하지 않는 최소 순서수이다.

성질[편집]

하르톡스 수는 기수이다.[1]:63 사실, 의 바로 다음 기수와 같다.

존재와 유일성[편집]

하르톡스 정리(Hartogs定理, 영어: Hartogs’ theorem)에 따르면, 모든 집합은 하르톡스 수를 갖는다. 이 정리는 선택 공리를 사용하지 않고, 체르멜로-프렝켈 집합론에서 증명할 수 있다. 또한, 하르톡스 수는 정의에 따라 유일하다.

증명:

다음과 같은 모임 를 정의하자.

그렇다면, 임을 다음과 같이 증명할 수 있다.

는 집합: 의 부분 집합들 위의 정렬 전순서 집합의 모임 및 정렬 전순서 집합의 순서형을 구하는 "함수" 를 취하자. 그렇다면, 이며, 이므로, 치환 공리꼴에 따라 는 집합이다.

는 순서수: 추이적 집합임을 증명하는 것으로 족하다. 임의의 에 대하여, 단사 함수 가 존재하는데, 이 경우 역시 단사 함수이므로, 이다.

단사 함수 의 부재: 그렇지 않다면, 이므로, 정칙성 공리와 모순이다.

는 위 조건을 만족시키는 최소 순서수: 이는 의 정의에 따라 자명하다.

[편집]

  • 임의의 자연수 에 대하여, 이다.[1]:63
  • 임의의 순서수 에 대하여, 이다.

역사[편집]

독일의 수학자 프리드리히 하르톡스가 증명하였다.

참고 문헌[편집]

외부 링크[편집]