극한 기수

집합론에서 극한 기수(極限基數, 영어: limit cardinal)는 바로 다음 기수 연산만으로 도달할 수 없는 기수이다.

정의

기수 $\kappa$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 기수를 극한 기수라고 한다.

• $\kappa =\lambda ^{+}$인 기수 $\lambda$가 존재하지 않는다.
• $\kappa =0$이거나, 다음 조건을 만족한다.
  • $\kappa$는 $\kappa$번째로 작은 무한 기수이다. 즉, 순서수 모임에서 무한 기수 모임으로 가는 순서 동형 ${\text{Ord}}\to {\text{Card}}^{*}$의 고정점이다. 즉, $\kappa =\aleph _{\kappa }$이다.

극한 기수가 아닌 기수를 따름 기수(따름基數, 영어: successor cardinal)라고 한다. (일부 문헌에서는 0을 극한 기수에서 제외시킨다.)

기수 $\kappa$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 기수를 강극한 기수(強極限基數, 영어: strong limit cardinal)라고 한다.

• 모든 기수 $\lambda <\kappa$에 대하여, $2^{\lambda }<\kappa$
• $\kappa =0$이거나, $\kappa =\aleph _{0}$이거나, $\kappa =\beth _{\kappa }$이다.

(일부 문헌에서는 0을 극한 기수에서 제외시킨다.)

성질

임의의 순서수 $\alpha$에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.

• $\alpha$는 극한 순서수이다.
• $\aleph _{\alpha }$는 극한 기수이다. ($\aleph$는 알레프 수)
• $\beth _{\alpha }$는 강극한 기수이다. ($\beth$는 베트 수)

모든 강극한 기수는 극한 기수이다. 만약 일반화 연속체 가설이 성립한다면, 모든 극한 기수는 강극한 기수이다.

만약 선택 공리가 성립한다면, 모든 따름 기수는 정칙 기수이다.

예

가산 극한 기수는 0과 $\aleph _{0}$ 밖에 없다. 이들은 둘 다 강극한 기수이다.

최소의 비가산 극한 기수는 $\aleph _{\omega }$이며, 최소의 비가산 강극한 기수는 $\beth _{\omega }$이다.

같이 보기

• 도달 불가능한 기수