극한 기수

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집합론에서, 극한 기수(極限基數, 영어: limit cardinal)는 바로 다음 기수 연산만으로 도달할 수 없는 기수이다.

정의[편집]

기수 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 기수극한 기수라고 한다.

  • 인 기수 가 존재하지 않는다.
  • 이거나, 다음 조건을 만족한다.
    • 번째로 작은 무한 기수이다. 즉, 순서수 모임에서 무한 기수 모임으로 가는 순서 동형 고정점이다. 즉, 이다.

극한 기수가 아닌 기수를 따름 기수(따름基數, 영어: successor cardinal)라고 한다. (일부 문헌에서는 0을 극한 기수에서 제외시킨다.)

기수 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 기수강극한 기수(強極限基數, 영어: strong limit cardinal)라고 한다.

  • 모든 기수 에 대하여,
  • 이거나, 이거나, 이다.

(일부 문헌에서는 0을 극한 기수에서 제외시킨다.)

성질[편집]

임의의 순서수 에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.

  • 극한 순서수이다.
  • 는 극한 기수이다. (알레프 수)
  • 는 강극한 기수이다. (베트 수)

모든 강극한 기수는 극한 기수이다. 만약 일반화 연속체 가설이 성립한다면, 모든 극한 기수는 강극한 기수이다.

만약 선택 공리가 성립한다면, 모든 따름 기수는 정칙 기수이다.

[편집]

가산 극한 기수는 0과 밖에 없다. 이들은 둘 다 강극한 기수이다.

최소의 비가산 극한 기수는 이며, 최소의 비가산 강극한 기수는 이다.

같이 보기[편집]