정규 함수

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집합론에서, 정규 함수(正規函數, 영어: normal function)는 그 도함수를 취할 수 있는, 정의역공역순서수모임연속 증가 함수이다. 이를 사용하여 매우 큰 가산 순서수들을 나타낼 수 있다.

정의[편집]

집합론적 문제를 피하기 위하여, 비가산 도달 불가능한 기수 를 고르자. (만약 모임 이론을 사용한다면 로 놓을 수 있다. 여기서 는 모든 순서수들의 모임이다.)

자기 함수

가 다음 조건을 만족시킨다면 정규 함수라고 한다.

  • 순증가 함수이다. 즉, 임의의 두 순서수 에 대하여, 이다.
  • 순서 위상에 대하여 연속 함수이다. 즉, 극한 순서수 에 대하여, 이다.

성질[편집]

정규 함수는 다음 성질들을 만족시킨다.

  • 임의의 에 대하여,

증명:

귀류법을 사용하자.
라면 이자 이므로 모순이다.
  • 임의의 순서수들의 집합 에 대하여,

증명:

증가 함수이므로 이다. 따라서 를 증명하면 족하다. 반대로, 에 대하여,

  • 만약 이라면, 이며, 따라서 이다.
  • 만약 이라고 하자. 그렇다면 이다.

도함수[편집]

베블런 고정점 정리(Veblen固定點定理, 영어: Veblen fixed-point theorem)에 따르면, 고정점들의 모임의 상한은 이다.

증명:

임의의 순서수 에 대하여,

를 정의하면,

이다.

이에 따라, 정규 함수 도함수(導函數, 영어: derivative) 를 다음과 같이 정의할 수 있다.

번째 고정점이다.

정규 함수의 도함수 역시 정규 함수이다. 따라서, 이를 반복하여 모든 유한 순서수 에 대하여 도함수를 다음과 같이 정의할 수 있다.

보다 일반적으로, 임의의 양의 극한 순서수 에 대하여, 그보다 작은 차수의 도함수들의 공통된 고정점들의 집합

와 순서 동형이며, 따라서 이를 열거하여 를 위 공통 고정점 집합의 번째 원소로 정의할 수 있다.

이와 같이, 의 초한 도함수들을 모두 정의할 수 있다. 이 초한 함수열을 베블런 위계(영어: Veblen hierarchy)라고 한다.

특히, 순서수 에 대하여 진 베블런 위계(영어: base- Veblen hierarchy)란 정규 함수 에 대한 베블런 위계를 뜻하며, 정규 함수를 명시하지 않고 "베블런 위계"라고 하면 의 베블런 위계를 뜻한다.

[편집]

다음과 같은 함수들은 정규 함수이다.

  • 임의의 순서수 에 대하여, (그러나 은 정규 함수가 아니다)
  • 임의의 순서수 에 대하여,
  • 임의의 순서수 에 대하여,
  • 알레프 수
  • 베트 수

(마지막 두 예는 도달 불가능한 기수는 알레프 함수와 베트 함수의 고정점이기 때문이다.[1]:16, 20[2]:78, Exercise 1.7.7(b))

역사[편집]

정규 함수의 개념과 베블런 고정점 정리는 오즈월드 베블런이 1908년에 도입하였다.[3] 베블런은 정규 함수를 "연속 증가 함수"(영어: continuous increasing function)라고 불렀다.[3]:281, §1

참고 문헌[편집]

  1. Kanamori, Akihiro (2003). 《The higher infinite: large cardinals in set theory from their beginnings》. Springer Monographs in Mathematics (영어) 2판. Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-88866-6. ISSN 1439-7382. Zbl 1022.03033. doi:10.1007/978-3-540-88867-3. 
  2. Holz, Michael; Steffens, Karsten; Weitz, E. 《Introduction to cardinal arithmetic》 (영어). 
  3. Veblen, Oswald (1908년 7월). “Continuous increasing functions of finite and transfinite ordinals”. 《Transactions of the American Mathematical Society》 (영어) 9: 280–292. ISSN 0002-9947. JSTOR 1988605. doi:10.1090/S0002-9947-1908-1500814-9. 

외부 링크[편집]