순서위상

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순서론에서, 순서위상(順序位相, 영어: order topology)은 전순서 집합 위의, 열린구간으로부터 생성되는 위상이다.

정의[편집]

원순서 집합 이 주어졌다고 하고, 이로부터 유도되는 동치 관계

로 표기하고, 이에 대한 동치류

로 표기하자. 위의 열린 반직선(영어: open ray)을 다음과 같이 표기하자.

여기서 상폐포이며, 하폐포이다.

순서 위상[편집]

위의, 다음과 같은 집합족을 부분 기저로 삼은 위상을 순서 위상이라고 한다.

즉, 기저는 다음과 같은 꼴이다.

(여기서, 0개의 부분 집합들의 교집합 전체이다.)

만약 격자라면, 의 순서 위상의 기저는 다음과 같이 쓸 수 있다.

다음과 같이 구간 표기법

을 적용하면, 이는 다음과 같다.

만약 유계 격자라면, 의 순서 위상의 기저는 다음과 같이 쓸 수 있다.

반순서 위상[편집]

위의 상 반순서 위상(영어: upper half-order topology) 또는 좌 반순서 위상(영어: left half-order topology)은 다음과 같은 부분 기저로 정의되는 위상이다.

마찬가지로, 위의 하 반순서 위상(영어: lower half-order topology) 또는 우 반순서 위상(영어: right half-order topology)은 다음과 같은 부분 기저로 정의되는 위상이다.

성질[편집]

순서 위상을 준 전순서 집합은 항상 완비 정규 하우스도르프 공간이다.

증명:

전순서 집합 가 주어졌다고 하자. 다음 두 조건을 증명하면 족하다.

정규성: 순서 위상에서 닫힌집합은 다음 4가지 가운데 하나와 같은 꼴이다.

이 가운데, 라면 는 서로소 닫힌집합이다. 이 경우,

는 이들을 분리하는 서로소 열린 근방이다. 나머지 경우들(예를 들어, , )도 마찬가지로 해결된다.

T1: 임의의 에 대하여,

이므로 한원소 집합 닫힌집합이다.

유한 전순서 집합 위의 순서 위상은 이산 위상이다.

전순서 집합에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

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유한 집합[편집]

멱집합 위의 순서 위상을 생각하자. 이 경우, 열린집합은 다음과 같이 7개이다.

멱집합 위의 상순서 위상의 열린집합은 다음과 같이 4개이다.

멱집합 위의 하순서 위상의 열린집합은 다음과 같이 4개이다.

자명한 순서[편집]

집합 위의 동치 관계는 (자명한) 원순서를 이룬다. 이 경우, 이에 대한 순서 위상 · 상위상 · 하위상은 모두 비이산 위상이다.

순서체[편집]

실수체 , 유리수체 , 정수환 자연수 집합 위의 표준적 위상은 순서 위상이다. (의 경우 이는 이산 위상이다.)

초실수에도 순서 위상을 줄 수 있다. 이 경우 완전 분리 공간이 된다.

순서수의 위상[편집]

순서수 정렬 집합이므로, 여기에 순서 위상을 주어 위상 공간으로 만들 수 있다. 이 경우, 극한점보다 작은 극한 순서수이다.

순서 위상을 주었을 때, 모든 순서수는 완전 분리 공간이다. 최초의 비가산 순서수 제1 가산 공간이지만 제2 가산 공간이 아니며, 콤팩트 공간이 아니다. 제1 가산 공간·제2 가산 공간이 아니며, 콤팩트 공간이다. 스톤-체흐 콤팩트화이다.

참고 문헌[편집]

외부 링크[편집]