알레프 수

집합론에서 알레프 수(ℵ數, 영어: aleph number)는 무한 기수를 나타내는 표기법이다. 기수의 고유 모임은 정렬 순서를 가지므로, 이에 따라 무한 기수를 순서수와 일대일 대응시킨다.

정의

편의상, 체르멜로-프렝켈 집합론 및 선택 공리를 가정하고, 존 폰 노이만의 순서수의 정의(순서수는 그보다 작은 모든 순서수의 집합)를 사용하자. 기수 $\kappa$의 바로 다음 기수(영어: successor cardinal)는 다음과 같다.

$\kappa ^{+}=\left|\inf\{\alpha \in \operatorname {Ord} \colon \kappa <|\alpha |\}\right|$

하르톡스 정리에 따라 이 하한은 항상 존재한다. 여기서 부등식은 기수의 부등식이다.

순서수 $\alpha$에 대하여, 알레프 수 $\aleph _{\alpha }$는 다음과 같이 초한 귀납법으로 정의된다.

• $\aleph _{0}=|\mathbb {N} |$ (자연수의 집합의 크기)
• $\aleph _{\alpha +1}=\aleph _{\alpha }^{+}$ ($\alpha +1$는 $\alpha$의 따름 순서수)
• $\aleph _{\lambda }=\left|\inf\{\alpha \in \mathrm {Ord} \colon \forall \beta <\lambda \colon \aleph _{\beta }<|\alpha |\}\right|$ ($\lambda$는 극한 순서수)

성질

알레프 수는 순서수의 고유 모임 $\mathrm {Ord}$에서 기수의 고유모임 $\mathrm {Card}$으로 가는 "함수"이다. (물론, 체르멜로-프렝켈 집합론에서는 정의역과 공역이 집합이 아니므로 이는 엄밀히 말해 함수가 될 수 없다.) 이는 "단사 함수"이며, 그 "상"은 무한 기수이다. 따라서, 모든 순서수 $\alpha$에 대하여,

$\aleph _{\alpha }<\kappa <\aleph _{\alpha +1}$

인 기수 $\kappa$는 존재하지 않는다.

고정점

기수를 순서수로 여겨, 알레프 수의 "고정점"(즉, $\aleph _{\alpha }=\alpha$인 $\alpha$)을 생각할 수 있다. 알레프 수는 순서수의 모임 위의 순서 보존 "함수"이므로, 모든 순서수 $\alpha$에 대하여 다음 부등식이 성립한다.

$\alpha \leq \aleph _{\alpha }$

모든 알레프 수의 고정점은 극한 기수이다. 모든 약하게 도달 불가능한 기수는 알레프 수의 고정점이다. 알레프 수의 최소의 고정점은 다음과 같다.

$\kappa =\sup \left\{\aleph _{0},\aleph _{\omega },\aleph _{\omega _{\omega }},\dots \right\}$

이는 약하게 도달 불가능한 기수가 아니다.

증명:

만약 $\kappa =\aleph _{\kappa }$라면, $\kappa$는 무한 기수이며, 특히 극한 순서수이다. 따라서 $\kappa =\aleph _{\kappa }$는 극한 기수이다.

약하게 도달 불가능한 기수 $\aleph _{\alpha }$가 주어졌을 때,

$\aleph _{\alpha }=\operatorname {cf} \aleph _{\alpha }=\operatorname {cf} \alpha \leq \alpha$

이다. ($\operatorname {cf} \aleph _{\alpha }=\operatorname {cf} \alpha$는 $\alpha$가 극한 순서수이기 때문이다.) 따라서, $\aleph _{\alpha }=\alpha$이다.

연속체 가설

 이 부분의 본문은 연속체 가설입니다.

일반화 연속체 가설에 따르면,

$\aleph _{\alpha }=\beth _{\alpha }$

가 성립한다. 여기서 $\beth _{\alpha }$는 베트 수이다. 이 명제는 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론에서 독립적이다 (즉, 증명하거나 반증할 수 없다). 또한, 대부분의 큰 기수 공리들을 추가해도 이는 변함이 없다. 위 가설에서 $\alpha =1$인 특수한 경우

$\aleph _{1}=2^{\aleph _{0}}$

는 연속체 가설이라고 불리며, 역시 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론 및 큰 기수 공리들에 대하여 독립적이다.

예

ℵ₀

$\aleph _{0}$은 가산 무한 집합의 크기이다. 예를 들어, 자연수의 집합 $\mathbb {N}$, 정수의 집합 $\mathbb {Z}$, 유리수의 집합 $\mathbb {Q}$ 등이 이 크기이다.

$\aleph _{0}=|\mathbb {N} |=|\mathbb {Z} |=|\mathbb {Q} |$

ℵ₁

$\aleph _{1}$은 가장 작은 비가산 기수이다. 이는 모든 가산 순서수들의 집합의 크기이다. 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론에서는 연속체 가설이 독립적이므로, 실제로 크기가 $\aleph _{1}$이라고 증명할 수 있는 집합들은 그리 많지 않다.

ℵ_ω

$\omega$가 가장 작은 무한 순서수라고 하자. $\aleph _{\omega }$는 $\{\aleph _{n}\colon n\in \mathbb {N} \}$의 상한이다. 또한, 이는 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론에서

$2^{\aleph _{0}}\neq \kappa$

임을 증명할 수 있는 가장 작은 기수 $\kappa$이다.

역사

이 표기법은 게오르크 칸토어가 기수 및 순서수 이론을 정의하면서 도입하였다. 알레프(ℵ)는 히브리 문자의 첫 글자이다. 칸토어가 왜 이 글자를 골랐는지는 확실하지 않다. 칸토어 자신이 유대인인지는 확실하지 않지만, 칸토어의 아내 발리 구트만(독일어: Vally Guttman)은 유대인이었다.

참고 문헌

• Roitman, Judith (2011). 《Introduction to modern set theory》 (영어). Virginia Commonwealth University. ISBN 978-0-9824062-4-3. 

외부 링크

• “Aleph”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Aleph-zero”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Aleph”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Aleph-0”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Aleph-1”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 

같이 보기

• 베트 수