유리수

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수학 체계
기초

\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}\sub\mathbb{R}\sub\mathbb{C}

복소수의 확장
기타

i 허수 단위 = \sqrt{-1}
\pi 원주율 ≈ 3.14159 26535 ...
e 자연로그의 밑 ≈ 2.71828 ( \notin \mathbb{Q})

주요 상수

π - e - √2 - √3 - γ -
φ - β* - δ - α - C2 -
M1 - B2 - B4 - Λ - K -
K - K - L - μ - EB -
Ω - β - λ - D(1) - λμ -
Cah. - Lap. - A-G - Λ - K-L -
Apr. - θ - Bac. - Prt. - Lb. -
Niv. - Sie. - Kin. - F - L

유리수(有理數, rational number)는 두 정수의 분수 형태(단 분모는 반드시 0이 아니다)로 나타낼 수 있는 실수를 말한다. 이에 반해 두 정수의 분수 꼴로 나타낼 수 없는 실수를 무리수라 한다.

모든 유리수의 집합\mathbf{Q} 또는 칠판 볼드체\mathbb{Q}라고 표시한다. 'Q'는 '몫'을 의미하는 'Quotient'에서 유래하였다. 조건 제시법을 사용하여 \mathbb{Q}를 다음과 같이 나타낼 수 있다. :

\mathbb{Q} = \left\{\frac{m}{n} : m, n \in \mathbb{Z}, n \ne 0 \right\}

산술[편집]

같은 유리수: 두 유리수 \frac{a}{b}\frac{c}{d}a \cdot d = b \cdot c를 만족할 때, \frac{a}{b} = \frac{c}{d}이다.

덧셈: 두 유리수 \frac a b\frac c d의 덧셈은 다음과 같이 정의한다.

\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{bd}

곱셈: 두 유리수 \frac a b\frac c d의 곱셈은 다음과 같이 정의한다.

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}

덧셈에 대한 항등원: 유리수 \frac a b의 덧셈에 대한 항등원은 다음과 같이 정의한다. 이를 이용하여 두 유리수의 뺄셈을 할 수 있다.

-\left(\frac{a}{b}\right) = \frac{-a}{b}
\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{a}{b} + \left(- \frac{c}{d}\right) = \frac{a}{b} + \frac{-c}{d} = \frac{ad-bc}{bd}

곱셈에 대한 항등원: 0이 아닌 유리수 \frac a b의 곱셈에 대한 항등원은 다음과 같이 정의한다. 이를 이용하여 두 유리수의 나눗셈을 할 수 있다.

\left(\frac{a}{b}\right)^{-1} = \frac{b}{a}
\frac{a}{b} \Big/ \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \left(\frac{c}{d}\right)^{-1} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} =\frac{ad}{bc}

형식적 구성[편집]

정수의 순서쌍에 대한 동치류로서 유리수를 정의할 수 있다. 두 정수 ab(\ne0)에 대하여, 순서쌍 (a,b)를 하나의 유리수로 생각하고, 다음과 같은 동치관계를 정의한다. 여기서 왼쪽은 유리수 사이의 같음을 나타내고 오른쪽은 정수 사이의 같음을 나타낸다.

(a,\,b) = (c,\,d) \Leftrightarrow ad = bc

덧셈과 곱셈, 덧셈과 곱셈에 대한 항등원은 유리수에서 정의되는 규칙을 옮겨 쓴다.

(a,\,b) + (c,\,d) = (ad+bc,\,bd)
(a,\,b) \cdot (c,\,d) = (ac,\,bd)
-(a,\,b) = (-a,\,-b)
(a,\,b)^{-1} = (b,\,a),\ b \ne 0

이러한 형식적 구성은 일반적인 정역으로부터 분수체를 만드는 체계적인 방법을 제공한다.

성질[편집]

집합 \mathbb{Q}는 정수의 집합 \mathbb{Z}으로 만든 분수체이며, 따라서 \mathbb{Q}는 사칙연산이 자유로운 이다.

서로 다른 어떤 두 유리수 사이에도 또다른 유리수가 존재하므로 집합 \mathbb{Q}조밀한 집합이다. 그러나 \mathbb{Q}\mathbb{Z} 사이에는 일대일대응이 가능하므로, \mathbb{Q}가산집합이다.

집합 \mathbb{Q}표수가 0인 가장 작은 이다. 즉, 표수가 0인 체는 \mathbb{Q}동형인 체를 반드시 포함한다.

바깥고리[편집]