유리수

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허수 단위
원주율 ≈ 3.14159 26535 ...
자연로그의 밑 ≈ 2.71828 ( )

주요 상수

π - e - √2 - √3 - √5 -
γ - φ - β* - δ - α -
C2 - M1 - B2 - B4 - Λ -
K - K - K - L - μ -
EB - Ω - β - λ - D(1) -
λμ - Cah. - Lap. - A-G - Λ -
K-L - Apr. - θ - Bac. - Prt. -
Lb. - Niv. - Sie. - Kin. - F - L

유리수(有理數, rational number)는 두 정수의 분수 형태(단 분모는 반드시 0이 아니다)로 나타낼 수 있는 실수를 말한다. 이에 반해 두 정수의 분수 꼴로 나타낼 수 없는 실수를 무리수라 한다.

모든 유리수의 집합 또는 칠판 볼드체라고 표시한다. 'Q'는 '몫'을 의미하는 'Quotient'에서 유래하였다. 조건 제시법을 사용하여 를 다음과 같이 나타낼 수 있다. :

산술[편집]

같은 유리수: 두 유리수 를 만족할 때, 이다.

덧셈: 두 유리수 의 덧셈은 다음과 같이 정의한다.

곱셈: 두 유리수 의 곱셈은 다음과 같이 정의한다.

덧셈에 대한 역원: 유리수 의 덧셈에 대한 역원은 다음과 같이 정의한다. 이를 이용하여 두 유리수의 뺄셈을 할 수 있다.

곱셈에 대한 역원: 0이 아닌 유리수 의 곱셈에 대한 역원은 다음과 같이 정의한다. 이를 이용하여 두 유리수의 나눗셈을 할 수 있다.

형식적 구성[편집]

정수의 순서쌍에 대한 동치류로서 유리수를 정의할 수 있다. 두 정수 에 대하여, 순서쌍 를 하나의 유리수로 생각하고, 다음과 같은 동치관계를 정의한다. 여기서 왼쪽은 유리수 사이의 같음을 나타내고 오른쪽은 정수 사이의 같음을 나타낸다.

덧셈과 곱셈, 덧셈과 곱셈에 대한 항등원은 유리수에서 정의되는 규칙을 옮겨 쓴다.

이러한 형식적 구성은 일반적인 정역으로부터 분수체를 만드는 체계적인 방법을 제공한다.

성질[편집]

집합 는 정수의 집합 으로 만든 분수체이며, 따라서 는 사칙연산이 자유로운 이다.

서로 다른 어떤 두 유리수 사이에도 또다른 유리수가 존재하므로 집합 조밀 집합이다. 그러나 사이에는 일대일 대응이 가능하므로, 가산 집합이다.

집합 표수가 0인 가장 작은 이다. 즉, 표수가 0인 체는 동형인 체를 반드시 포함한다.

바깥고리[편집]