대수적 정수

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낮은 차수의 대수적 정수의 분포. 낮은 차수의 다항식의 해는 붉은 색의 점, 비교적 고차 다항식의 해는 푸른 색의 점으로 나타내었다.

대수적 정수는 정수 계수 일계수 다항식의 근으로 표시되는 집합이다.

정의[편집]

복소수 z\in\mathbb C에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다. 이를 만족시키는 복소수를 대수적 정수라고 한다.

성질[편집]

대수적 정수의 집합 \mathbb A정역이며, 또한 베주 정역이다 (즉, 두 주 아이디얼의 합이 주 아이디얼이다). 그러나 대수적 정수는 유일 인수 분해 정역이 아니다. 따라서, 대수적 정수의 인수 분해는 일반적으로 유일하지 않지만, 유한 개의 대수적 정수의 최대공약수를 정의할 수 있다.

모든 대수적 정수는 어떤 대수적 수체대수적 정수환의 원소이며, 그 역 또한 성립한다. 즉, 대수적 정수의 집합은 모든 대수적 수체의 대수적 정수환들의 합집합이다.

같이 보기[편집]