자연수

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수학 체계
기초

복소수의 확장
기타

허수 단위
원주율 ≈ 3.14159 26535 ...
자연로그의 밑 ≈ 2.71828 ( )

주요 상수

π - e - √2 - √3 - √5 -
γ - φ - β* - δ - α -
C2 - M1 - B2 - B4 - Λ -
K - K - K - L - μ -
EB - Ω - β - λ - D(1) -
λμ - Cah. - Lap. - A-G - Λ -
K-L - Apr. - θ - Bac. - Prt. -
Lb. - Niv. - Sie. - Kin. - F - L

수학에서, 자연수(自然數, 영어: natural number)는 수를 셀 때나 순서를 매길 때 사용되는 수이다. 양의 정수(陽-整數, 영어: positive integer) 1, 2, 3, ...로 정의되거나, 음이 아닌 정수(陰-整數, 영어: non-negative integer) 0, 1, 2, 3, ...로 정의된다. 범자연수(汎自然數, 문화어: 옹근수, 완수, 영어: whole number)라는 용어는 첫째 정의를 택할 경우에 음이 아닌 정수를 가리키는 데 사용되며, 이에 대응하는 문화어와 영어는 둘째 정의를 택할 경우에 정수를 가리키는 데 사용된다.[1] 자연수의 집합은 대문자 N을 써서 표기하며, 보통 칠판 볼드체 ℕ를 사용한다.

약수 관계나 소수 분포를 비롯한 자연수의 성질들은 수론의 연구 대상이며, 분할이나 계수를 비롯한 자연수의 문제들은 조합론의 연구 대상이다. 자연수는 많은 연산에 대하여 닫혀있지 않다. 정수는 자연수를 뺄셈에 대하여 닫혀있도록 확장하여 얻는 수 체계이며, 유리수는 자연수를 추가로 나눗셈에 대하여 닫혀있도록 확장한 수 체계이다. 실수는 추가로 코시 수열극한에 대하여 닫혀있도록 확장한 것이며, 복소수는 추가로 다항식의 근에 대하여 닫혀있도록 확장한 것이다. 자연수는 하나하나가 유한하지만, 무한 집합을 이룬다. 자연수의 집합은 "가장 작은 크기"의 무한 집합이며, 자연수와 크기가 같은 집합을 가산 무한 집합이라고 한다.

자연수가 만족시켜야 하는 일련의 공리들을 제시하여 자연수를 일종의 무정의 개념으로 간주할 수 있으며, 이러한 자연수의 공리들이 이루는 체계 가운데 가장 자주 사용되는 하나는 페아노 공리계이다. 수리논리학에서 이는 자연수의 이론에 해당된다. 자연수를 특별한 집합으로서 간주하여 다룰 수도 있는데, 이 경우 보통 자연수의 집합은 최소 재귀 집합으로 정의된다. 수리논리학에서 이는 자연수의 모형에 해당된다.

자연수의 수를 세는 역할을 일반화하면 기수의 개념을 얻으며, 자연수의 순서를 매기는 기능을 일반화하면 순서수의 개념을 얻는다. 자연수의 집합의 대수적 성질을 일반화하면 반환의 개념을 얻는다.

정의[편집]

공리적 정의 (페아노 공리계)[편집]

가장 통용되는 자연수 이론인 페아노 공리계는 상수 및 함수 에 대한 다음과 같은 공리들로 이루어진 2차 논리 이론 이다.

  • 임의의 에 대하여,
  • (단사 함수) 임의의 에 대하여, 이면
  • (수학적 귀납법) 임의의 에 대하여, 이며 이면,

이 공리들 가운데 2차 논리 공식은 셋째 공리뿐이다. 이 셋째 공리를 1차 논리 공리꼴로 대신하면, 페아노 산술을 얻으며, 이는 보다 더 약한 공리계이다.

집합론적 정의 (폰 노이만)[편집]

자연수 이론의 한 가지 모형 체르멜로-프렝켈 집합론에서 구체적으로 다음과 같이 구성할 수 있다.

이 경우, 각 자연수는 그보다 작은 자연수들의 집합이다. 예를 들어, 처음 몇 자연수는 다음과 같다.

집합론적 정의 (프레게와 러셀)[편집]

고유 모임이 허용되는 경우, 자연수를 유한 집합대등 관계에 대한 동치류로서 정의할 수 있다. 즉, 각 자연수는 그 자연수를 원소 개수로 하는 집합들의 모임이다. 즉, 이는 다음과 같다.

그러나, 이러한 구성은 고유 모임을 사용하므로, 분류 공리꼴을 만족시키는 집합론에서 사용할 수 없다.

성질[편집]

자연수의 집합은 가환 순서 반환을 이룬다.

정렬성[편집]

자연수의 집합은 정렬 집합이다. 즉, 공집합이 아닌 자연수 부분 집합 은 항상 최소 원소 를 갖는다.

자연수의 집합 위에서 수학적 귀납법무한 강하법이 성립한다.

같이 보기[편집]

참고 문헌[편집]

  1. “남북 기술용어”. 《북한과학기술네트워크》. 

바깥 고리[편집]