p진수

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수학 체계
기초

\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}\sub\mathbb{R}\sub\mathbb{C}

복소수의 확장
기타

i 허수 단위 = \sqrt{-1}
\pi 원주율 ≈ 3.14159 26535 ...
e 자연로그의 밑 ≈ 2.71828 ( \notin \mathbb{Q})

주요 상수

π - e - √2 - √3 - γ -
φ - β* - δ - α - C2 -
M1 - B2 - B4 - Λ - K -
K - K - L - μ - EB -
Ω - β - λ - D(1) - λμ -
Cah. - Lap. - A-G - Λ - K-L -
Apr. - θ - Bac. - Prt. - Lb. -
Niv. - Sie. - Kin. - F - L

수론에서, p진수(p進數, p-adic number)는 유리수의 체를 마치 어떤 소수 p에 대한 로랑 급수처럼 해석하여 완비시켜 얻는 이다. 보다 구체적으로 설명하면, 임의의 소수 p에 대해, p진수들을 전부 모은 p진체는 유리수체의 완비화이다. 또한 p진수에는 p진 부치(valuation)가 주어져 있기에 거리공간이 되며 따라서 위상공간이기도 하다. 이 거리공간은 완비(즉, 모든 코시 수열이 수렴한다)이며, 그렇기에 p진체 상에서 마치 실수체 상에서와 같은 해석학을 전개할 수 있는 것이다. p진법 체계의 유용성은 상당 부분 이와 같은 대수적 구조와 해석적 구조 사이의 상호 연관성에서 나온다.

개론[편집]

유리수체 \mathbb Q는 표준 노름 |a/b|에 대하여 완비 거리공간을 이루지 않는다. 따라서, 이에 대하여 코시 수열들의 동치류들을 취하여 이를 완비화할 수 있는데, 이렇게 하여 실수체 \mathbb R을 얻는다. 유리수체의 표준 노름은 매우 유용하지만, 원하면 유리수체에 다른 노름을 줄 수도 있다. 이러한 노름에 대하여 완비화하면 다른 체를 얻게 된다. p진수는 이렇게 정의되는 체 가운데 하나다.

수론에서, 유리수들을 어떤 주어진 소수 p에 대한 형식적인 단항식으로 취급하게 되는 경우가 있다. 모든 0이 아닌 유리수는 p^n(a/b) (abp로 나누어떨어지지 않음)의 꼴로 유일하게 나타낼 수 있다. 예를 들어, p=7이라고 하자. 그렇다면,

28/5=7\times(4/5)
-15/98=7^{-2}\times(-15/2)

이는 "변수" p=7에 대한 단항식 (4/5)p 또는 -(15/2)p^{-2}와 유사하게 생각할 수 있다. 이제, p를 일종의 무한소로 취급하면, p의 인수를 더 많이 포함할 수록 더 "작고", p^{-1}의 인수를 더 많이 포함할 수록 더 "크다"고 생각할 수 있다.

이와 같이 유리수체 \mathbb Q 위에 p의 인수를 더 많이 포함할 수록 더 노름이 작아지는 노름을 정의할 수 있다. p진체는 유리수체를 이 노름에 대하여 완비화한 체이다.

역사[편집]

쿠르트 헨젤1897년수론에서 사용하기 위하여 도입하였다.

정의[편집]

p소수라고 하자. 유리수체 \mathbb Q에 다음과 같은 노름 |\cdot|_p를 정의할 수 있다.

|p^na/b|_p=p^{-n} (p\nmid a,b)
|0|_p=0

(모든 0이 아닌 유리수는 p^na/b와 같은 꼴로 유일하게 나타낼 수 있다.) 이 노름을 p진 노름(영어: p-adic norm)이라고 한다.

유리수체 \mathbb Q_p를 이 노름에 대하여 완비시켜 얻는 체를 p진체 \mathbb Q_p라고 하며, 그 원소를 p진수라고 한다.

p진 복소수[편집]

p진 복소수체 \mathbb C_p는 다음과 같이 정의한다.

  1. p진체 \mathbb Q_p완비 거리공간이지만 대수적으로 닫힌 체가 아니다. 그 대수적 폐포를 취하여, 대수적으로 닫힌 체 \bar{\mathbb Q}_p를 얻을 수 있다.
  2. 대수적 폐포 \bar{\mathbb Q}_p대수적으로 닫힌 체이지만 완비 거리공간이 아니다. 그 완비화를 취하여, \mathbb C_p라는 체를 얻는다. 이는 대수적으로 닫힌 체이자 완비 거리공간이다. 이를 p진 복소수체로 정의한다.

성질[편집]

p진 노름[편집]

p진 노름은 다음과 같은 성질들을 만족시킨다. 아래에서, r,s\in\mathbb Q는 임의의 유리수다.

  • |r+s|_p\le\max\{|r|_p,|s|_p\}
이는 모든 노름들이 만족시키는 삼각부등식 |r+s|\le|r|+|s|보다 더 강한 조건이다.
  • \mathbb Q의 표준 노름을 |\cdot|_\infty라고 쓰자. 그렇다면,
|r|_\infty\prod_p|r|_p=1
이다.

p진체[편집]

p진체 \mathbb Q_p는 다음과 같은 성질을 만족시킨다.

p진 복소수체[편집]

p진 복소수체 \mathbb C_p는 다음과 같은 성질을 만족시킨다.

응용[편집]

원래 수론에서 도입되었지만, 오늘날 p진수는 초기의 목적에 비해 훨씬 더 다양한 분야에서 사용되고 있다. 예를 들어 p진 해석학미적분학의 p진법 버전이라 할 수 있다.

이론물리학에서도 p진수가 종종 사용된다.[1][2][3][4]

컴퓨터 과학에서는 유리수를 나타내는 한 방법으로 사용된다.[5]

참고 문헌[편집]

  1. Dragovich, B., A. Yu. Khrennikov, S. V. Kozyrev, I. V. Volovich (2009년 3월). p-adic mathematical physics. 《p-Adic Numbers, Ultrametric Analysis, and Applications》 1 (1): 1–17. arXiv:0904.4205. doi:10.1134/S2070046609010014. Bibcode2009arXiv0904.4205D. ISSN 2070-0466.
  2. Dragovich, Branko. Non-Archimedean Geometry and Physics on Adelic Spaces. arXiv:math-ph/0306023.
  3. Dragovich, Branko. p-adic and adelic quantum mechanics. arXiv:hep-th/0312046.
  4. Dragovich, Branko. Nonlocal dynamics of p-adic strings. arXiv:1011.0912. doi:10.1007/s11232-010-0093-4. Bibcode2010TMP...164.1151D.
  5. Hehner, E.C.R., R. N. S. Horspool (1979년 5월). A new representation of the rational numbers for fast easy arithmetic. 《Society for Industrial and Applied Mathematics Journal on Computing》 8 (2): 124–134. doi:10.1137/0208011. ISSN 0097-5397.

바깥 고리[편집]