크룰 차원

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가환대수학대수기하학에서, 크룰 차원(Krull dimension)은 가환환에 대한 차원의 일종이다. 소 아이디얼로 이루어진 진부분집합들의 사슬들의 크기의 상한이다.

정의[편집]

R이 (1을 갖춘) 가환환이라고 하자. 만약 R소 아이디얼\mathfrak p_i가 다음과 같은 진부분집합의 사슬

\mathfrak p_0\subsetneq\mathfrak  p_1\subsetneq\mathfrak  p_2\subsetneq\cdots\subsetneq\mathfrak p_n

을 이룰 때, 음이 아닌 정수 n을 집합 H(R)\subset\mathbb N의 원소로 정의하자. 그렇다면 가환환 R크룰 차원H(R)상한이다.[1]:6 즉,

\dim R=\sup H(R)\in\mathbb N\sqcup\{\infty\}.

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소 아이디얼은 (0)뿐이다. 따라서 모든 는 크룰 차원이 0이다. 주 아이디얼 정역의 경우, 모든 0이 아닌 소 아이디얼극대 아이디얼이다. 따라서 체가 아닌 주 아이디얼 정역의 크룰 차원은 1이다.

k가 체라고 하자. 그렇다면 k[x]주 아이디얼 정역이므로 \dim k[x]=1이다. 보다 일반적으로, \dim k[x_1,x_2,\dots,x_n]=n이다.[1]:6

성질[편집]

다음이 성립한다.

역사[편집]

볼프강 크룰(Wolfgang Krull)이 1928년 크룰 주 아이디얼 정리(Krulls Hauptidealsatz)를 증명하면서 그 기본 개념을 도입하였다.[2]

참고 문헌[편집]

  1. (영어) Hartshorne, Robin (1977년). 《Algebraic Geometry》, Graduate Texts in Mathematics 52, ISSN 0072-5285. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. MR0463157. Zbl 0367.14001. ISBN 978-0-387-90244-9
  2. (독일어) Krull, Wolfgang (1928년 12월 1일). Zur Theorie der zweiseitigen Ideale in nichtkommutativen Bereichen. 《Mathematische Zeitschrift》 28 (1): 481–503. doi:10.1007/BF01181179.
  • Eisenbud, D. (1995). 《Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry》. New York: Springer-Verlag
  • Atiyah, M. F., I. G. Macdonald (1969). 《Introduction to Commutative Algebra》. Reading, Massachusetts: Addison-Wesley

바깥 고리[편집]