유리수

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수학에서, 유리수(有理數, 영어: rational number)는 두 정수비율로 나타낼 수 있는 수이다. 단, 분모가 0이 아니어야 한다. 특히, 분모가 1일 수 있으므로 모든 정수는 유리수이다. 유리수체의 기호는 볼드체 칠판 볼드체 이며, ''을 뜻하는 영어(영어: quotient)에서 따왔다.

정의[편집]

유리수체 정수환 분수체이다. 이는 다음과 같은 집합으로 생각할 수 있다.

추상적 정의[편집]

엄밀히 말해, 유리수체 는 다음과 같은 공리를 만족시키는 (동형 아래 유일한) 이다.

  • 표수는 0이다.
  • 만약 의 표수가 0이라면, 유일한 환 준동형 이 존재한다.

구체적 정의[편집]

유리수체 는 구체적으로 다음과 같이 구성할 수 있다. 집합 위에 다음과 같은 동치 관계 를 줄 수 있다.

유리수체 는 집합으로서 몫집합 이며, 그 위의 덧셈과 곱셈은 다음과 같다.

체가 만족시켜야 하는 조건인 각종 연산 법칙과 덧셈 항등원 및 각 유리수 의 덧셈 역원 및 곱셈 항등원 및 0이 아닌 각 유리수 의 곱셈 역원 의 존재가 성립하므로, 이는 체를 이룬다. 정수환과 유리수체 사이의 표준적인 단사 환 준동형은 다음과 같다.

각 유리수 를 분수 꼴

로 나타내면, 유리수를 마치 두 정수의 비율인 것처럼 다룰 수 있다.

표현[편집]

분수 표현[편집]

유리수는 두 정수의 비율이므로, 나눗셈 기호와 의미가 같은 분수 기호를 통해 나타낼 수 있다. 예를 들어, 1과 3의 비를 분수로 나타내면 1/3이다. 분자와 분모를 동시에 그 공약수로 나누어 원래와 값이 같지만 꼴이 더 단순한 분수를 얻는 과정을 약분이라고 한다. 분자와 분모가 서로소이어서 더 이상 약분할 수 없는 분수를 기약 분수라고 한다. 예를 들어, 12/18을 최대 공약수 6으로 나눠 약분하면 기약 분수 2/3을 얻는다. 분자가 분모보다 작은 분수를 진분수, 작지 않은 분수를 가분수라고 한다. 가분수는 정수와 진분수의 합으로 표현한 것을 대분수라고 한다. 예를 들어, 11/9의 대분수 표현은 12/9이다.

무리수는 두 정수의 비율로 나타낼 수 없으므로 분수 표현이 불가능하다.

십진법 표현[편집]

유리수의 진법 전개는 유한 소수이거나 순환 소수이다. 십진법 전개가 가장 흔하며, 그 예는 다음과 같다.

분수를 소수로 전환하려면 나머지 있는 나눗셈을 통해 순환 마디를 구하면 된다. 유한 소수나 순환 소수를 분수로 전환하려면 1/10 = 0.1, 1/100 = 0.01, 1/1000 = 0.001 및 1/9 = 0.111..., 1/99 = 0.010101..., 1/999 = 0.001001001... 따위를 이용하면 된다.

반면 무리수의 진법 전개는 비순환 소수이다.

연분수 표현[편집]

유리수는 유한 연분수 표현이 가능하다. 예를 들어, 다음과 같다.

분수를 연분수로 나타내려면, 분자와 분모에 유클리드 호제법을 응용하면 된다.

무리수의 경우, 연분수 표현은 항상 무한 연분수이다.

연산[편집]

등식과 부등식[편집]

두 유리수가 같을 필요충분조건은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

어떤 유리수가 다른 어떤 유리수보다 작을 필요충분조건은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

덧셈과 뺄셈[편집]

두 유리수의 덧셈에는 통분 기법이 쓰이며, 이는 다음과 같다.

유리수의 반수를 구하는 공식은 다음과 같다.

두 유리수의 뺄셈은 반수를 더하는 것과 같다.

분모의 최소 공배수를 공분모로 취하여 통분하면 더 간단히 구할 수 있다.

곱셈과 나눗셈[편집]

두 유리수의 곱셈은 다음과 같다.

0이 아닌 유리수의 역수는 다음과 같다.

두 유리수의 나눗셈은 역수를 곱하는 것과 같다.

성질[편집]

집합 는 정수의 집합 으로 만든 분수체이며, 따라서 는 사칙연산이 자유로운 이다.

집합 표수가 0인 가장 작은 이다. 즉, 표수가 0인 체는 동형인 체를 반드시 포함한다.

서로 다른 어떤 두 유리수 사이에도 또다른 유리수가 존재하므로 집합 조밀 집합이다. 그러나 사이에는 일대일 대응이 가능하므로, 가산 무한 집합이다.

유리수체에는 표준적인 절댓값p진 절댓값을 줄 수 있으며, 이들에 의한 완비화는 각각 실수체p진수체이다.

외부 링크[편집]