연분수

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연분수(連分數)는 다음과 같은 꼴의 분수를 말한다.

x = a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cfrac{1}{a_3+\,\ddots}}}

식에서 a_0 은 정수, 나머지 a_n 은 양의 정수이다. 위 분수꼴의 수는 x = [a_0; a_1, a_2, a_3]로 쓰기도 한다. 같은 방법으로 일반적인 연분수를 [a_0; a_1, a_2, \cdots, a_n] 로 쓴다. 이를 유한에만 한정하지 않고, 무한까지 확장하여, 무한 연분수를 다음과 같이 극한을 이용하여 정의할 수도 있다.

[a_{0}; a_{1}, a_{2}, a_{3}, \cdots ] = \lim_{n \to \infty} [a_{0}; a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}]

위 극한은 어떤 양의 정수 a_1, a_2, a_3, \cdots 들에 대해서도 존재한다.

모든 유한 연분수는 유리수이며, 모든 유리수[2; 3, 1] = [2; 4] = \frac 9 4 = 2.25 의 경우와 같이 정확히 두가지 유한 연분수로 나타내어진다. 모든 무한 연분수는 무리수이며, 모든 무리수는 무한 연분수로 표현가능하며 그 표현은 유일하다.

무한 연분수 중 꼬리들이 반복되어 나타나는 것을 순환 연분수라고 한다. 어떤 무리수가 순환 연분수로 표현가능할 필요충분조건은 그것이 어떤 이차방정식의 해가 되는 것이다. 즉, 이차 무리수(영어: quadratic irrational number)인 것이다.

근사분수[편집]

무리수를 무한 연분수로 나타내는 방법은, 처음 몇 항까지의 연분수가 좋은 유리수 근삿값을 주기 때문에 특히 유용하다. 이런 근사 유리수값을 연분수의 근사분수(convergents)라 부른다.

짝수 근사분수는 실제값보다 작은데 비하여, 홀수 근사분수는 실제값보다 크다.

예를 들어, 원주율 파이(\pi)의 근사분수들을 계산해 보자.


\begin{array}{llllll}
&a_0 = \lfloor \pi \rfloor &=  3, &u_1 = \frac 1 {\pi -  3} &\approx \frac {  113} {  16} &=  7.0625 \\
&a_1 = \lfloor u_1 \rfloor &=  7, &u_2 = \frac 1 {u_1 -  7} &\approx \frac {31993} {2000} &= 15.9965 \\
&a_2 = \lfloor u_2 \rfloor &= 15, &u_3 = \frac 1 {u_2 - 15} &\approx \frac { 1003} {1000} &=  1.003
\end{array}
(\lfloor x \rfloorx보다 작은 최대 정수)

이런 식으로 계속 나간다.

이를 반복하면, 무한 연분수

\pi = [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, \cdots] = 3 + \cfrac{1}{7 + \cfrac{1}{15 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{292 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{\ddots}}}}}}}}}

를 얻는다.

\pi의 세 번째 근사분수는 [3; 7, 15, 1] = \frac {355} {113} = 3.14159292035\cdots 이며,이는 실제 \pi 값에 매우 가까운 값이다.

오차의 한계[편집]

어떤 무리수의 n번째 근사분수는, 그것을 분모와 분자가 서로소인 분수로 나타내었을 때의 분모보다 작은 분모를 가진 어떠한 유리수보다 주어진 무리수에 가까이 근접해 있다.

이 때의 오차의 한계는 M을 주어진 무리수, 각각 p_nq_nn번째 근사분수의 서로소인 분자와 분모라 할 때, 다음과 같은 식으로 주어진다.

\left|M- \frac{p_n}{q_n}\right|< \frac{1}{2{q_n}^2}

또한, 다음 식

\left|M- \frac{P}{Q}\right|< \frac{1}{2Q^2}

을 만족하는 가장 작은 정수 Q에 대하여, 적당한 자연수 k가 존재하여 P= p_kQ= q_k를 만족한다.

같이 보기[편집]

참고문헌[편집]

  • 오정환, 이준복, 『정수론』, 교우사, 2003

바깥 고리[편집]