덧셈 역원

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수학에서, 어떤 수의 덧셈 역원(-逆元, 영어: additive inverse) 또는 반수(反數, 문화어: 반대수, 영어: opposite number)는 그 수에 더했을 때 0이 되는 수이다. 실수의 반수는 원래의 수에서 절댓값을 그대로 둔 채 부호만을 정반대로 취하여 얻는다. 양수의 반수는 음수, 음수의 반수는 양수, 0의 반수는 0이다.

예를 들어, 7의 반수는 -7이며, -3.5의 반수는 3.5이다. 이는 7 + (-7) = 0이며 (-3.5) + 3.5 = 0이기 때문이다.

결합 법칙교환 법칙을 만족시키고 항등원을 갖춘 이항 연산은 흔히 덧셈으로 여겨지며, 덧셈 역원은 이러한 이항 연산에 대하여 일반화될 수 있다. 이 경우 보다 일반적인 구조 위의 뺄셈이나 덧셈 역원에 대한 닫힘 등의 성질을 다룰 수 있다.

정의[편집]

덧셈 역원은 임의의 덧셈 아벨 군 의 원소 에 대하여 정의할 수 있다. (덧셈이 주어진 정수환, 유리수체, 실수체, 복소수체, 행렬 공간, 다항식환, 함수 공간 등은 모두 아벨 군의 예이다.) 이 원소의 덧셈 역원은 등식

을 만족시키는 원소 를 뜻한다. 각 원소의 덧셈 역원은 유일한데, 이는 만약 가 모두 의 덧셈 역원이라면,

이 성립하기 때문이다.

성질[편집]

뺄셈과의 관계[편집]

덧셈 아벨 군 위의 뺄셈은 덧셈과 덧셈 역원을 통해 다음과 같이 정의할 수 있다.

반대로, 덧셈 역원은 뺄셈에서 피감수가 덧셈 항등원인 특수한 경우이다.

항등식[편집]

덧셈 아벨 군 위에서, 다음과 같은 항등식들이 성립한다.

  • (덧셈의 보존)
  • (대합)

만약 에 곱셈을 추가하여 을 이루게 된다면, 다음과 같은 항등식들이 추가로 성립한다.

  • (양쪽 곱셈의 보존)

만약 의 0이 아닌 모든 원소가 곱셈 역원을 갖는다면, (즉, 나눗셈환을 이룬다면,) 다음과 같은 항등식들이 추가로 성립한다.

  • (곱셈 역원의 보존)

예를 들어, 임의의 복소수의 경우, 위 항등식들은 모두 성립한다.

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덧셈 가환 모노이드에 대해서도 반수를 취하는 연산에 대하여 닫혀있는지를 논할 수 있다. 예를 들어, 정수, 유리수, 실수, 복소수의 집합은 각각 반수를 취하는 연산에 대하여 닫혀있다. 즉, 이들의 반수는 각각 정수, 유리수, 실수, 복소수이다. 그러나 자연수, 기수, 순서수의 반수는 (0을 제외하면) 각각의 집합 속에서 찾을 수 없으므로 이들의 집합은 반수에 대하여 닫혀있지 않다.

같이 보기[편집]