역수

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함수 y = 1/x의 그래프. 0을 제외한 모든 x에 대해 yx의 역수를 나타낸다.

어떤 수의 역수(逆數, 영어: reciprocal) 또는 곱셈 역원(-逆元, 영어: multiplicative inverse)은 그 수와 곱해서 1, 즉 곱셈 항등원이 되는 수를 말한다. x의 역수는 1/x 또는 x -1로 표기한다. 곱해서 1이 되는 두 수를 서로 역수라 하기도 한다. 이는 역수 관계가 대칭적(즉 xy의 역수이면 yx의 역수)임을 보여준다. 분수 a/b의 역수는 b/a이다. 실수의 역수는 그 수로 1을 나눈 몫과 같다. 예를 들어 5의 역수는 1/5(즉 0.2), 4의 역수는 1/4(즉 0.25)이다. 함수 f(x) = 1/x는 모든 영아닌 실수를 역수로 대응시킨다. 모든 영아닌 실수, 더 나아가 영아닌 복소수의 역수는 유일하게 존재한다.

역수는 실수(복소수) 뿐만 아니라, 곱셈 연산을 장착한 대수 구조(, 나눗셈환 등)에서도 존재하며, 이 경우 대신 곱셈 역원, 줄여서 역원, 으로 불린다. 곱셈의 교환법칙이 성립하지 않을 때, 아까와 다르게 x의 곱셈 역원을 xy = yx = 1을 만족하는 y, 즉 동시에 좌, 우역원인 원소로 정의해야 한다. 또 곱셈 역원이 존재하지 않는 수가 '영' 뿐이 아니거나, 역원이 유일하지 않을 수 있다. 의 곱셈 역원을 가지는 원소를 가역원, 그들이 이루는 군을 가역원군이라고 한다. 환의 가역원이 유일한 역원을 가질 필요충분조건은 영인자가 아니라는 것이다.

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