삼각함수

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사인 함수와 코사인 함수

수학에서, 삼각함수(三角函數, 영어: trigonometric function)는 의 크기를 삼각비로 나타내는 함수이다. 예각 삼각함수는 직각 삼각형예각에 직각 삼각형의 두 변의 길이의 비를 대응시킨다. 임의의 각의 삼각함수 역시 정의할 수 있다. 삼각함수는 복소수의 지수 함수의 실수 · 허수 부분이며, 따라서 복소수를 다룰 때 핵심적인 역할을 한다. 가장 근본적인 주기 함수이며, 각종 주기적 현상을 다룰 때 푸리에 급수의 형태로 등장한다.

삼각함수에는 3개의 기본적인 함수가 있으며, 이들은 사인(영어: sine, 기호 sin) · 코사인( 영어: cosine, 기호 cos) · 탄젠트(영어: tangent, 기호 tan)라고 한다. 이들의 역수는 각각 코시컨트(영어: cosecant, 기호 csc) · 시컨트(영어: secant, 기호 sec) · 코탄젠트(영어: cotangent, 기호 cot)라고 한다.

정의[편집]

직각 삼각형을 통한 정의[편집]

직각 삼각형

C가 직각인 삼각형 ABC에서, 각 A, B, C의 대변(마주보는 변)의 길이를 라고 할 때, 사인, 코사인, 탄젠트의 정의는 다음과 같다.

사인:
코사인:
탄젠트:

또한, 코시컨트, 시컨트, 코탄젠트는 위 세 함수의 역수가 되며, 다음과 같이 정의한다.

코시컨트:
시컨트:
코탄젠트:

단위원을 통한 정의[편집]

삼각 함수

좌표평면에서 원점을 중심으로 하고 반지름 r의 길이가 1인 원을 단위원이라고 한다. 이 단위원 위의 점 A 에 대해, 축과 점 A와 원점을 잇는 직선간의 각을 라고 하면, 다음과 같이 정의한다.

단위원에서의 삼각함수의 역방향성[편집]

동경선이 역방향으로 움직이면 값을 갖는다.

Vertex-ray001.svg
Sincos-theta001.svg
특수각일때,

복소 삼각함수[편집]

오일러의 공식 를 대입하면,

를 대입하면,

연립하여 풀면, 쌍곡선함수,

성질[편집]

주기성과 특이점[편집]

사인 · 코사인 · 코시컨트 · 시컨트는 주기가 주기함수이다. 즉, 임의의 복소수 에 대하여,

탄젠트 · 코탄젠트는 주기가 주기함수이다. 즉, 임의의 복소수 에 대하여,

사인과 코사인은 실수선 위에서 해석함수이며, 복소 평면 위에서 정칙함수이다. 이들은 복소 무한대 에서 본질적 특이점을 갖는다.[1][2]

탄젠트는 실수선의 ()에서 정의되지 않는다.

Sine cosine plot.svg   Tangent.svg   Csc drawing process.gif
사인과 코사인의 그래프   탄젠트 그래프   코시컨트 그래프

특별한 값[편집]

단위원 위의 각 점의 좌표

특별한 에서의 삼각 함수의 값은 다음과 같다.

(라디안)
특수각 사인 코사인 탄젠트
(0˚)
(30˚)
(45˚)
(60˚)
(90˚)
0º , 90º sin, cos, tan
탄젠트 0˚=
탄젠트 90˚=

부호[편집]

각 사분면에 따른 삼각함수의 부호는 다음과 같다.

사분면  sin과 csc   cos과 sec   tan와 cot 
I + + +
II +
III +
IV +

항등식[편집]

삼각함수 사이에는 많은 항등식이 존재한다. 그중 가장 자주 쓰이는 것은 피타고라스 항등식으로, 어떤 각에 대해서도 사인의 제곱과 코사인의 제곱의 합은 1이다. 이는 반지름의 길이가 인 빗변이고 밑변이 의 대변인 높이 에 대하여 를 만족한다는 피타고라스의 정리로 설명할 수 있다. 이를 삼각함수로 나타내면 다음과 같다.

이것은 다음과 같다.

따라서, 이것은 또한 단위원에서 다음과 같다.

삼각함수의 덧셈정리[편집]

다른 삼각함수의 관계는 삼각함수의 덧셈정리이다. 두 각의 합과 차의 사인과 코사인은 x, y에 대한 사인과 코사인으로 구할 수 있다. 이는 제2 코사인 법칙두 점 사이의 거리 공식을 연립해 유도할 수 있고, 제1 코사인 법칙사인 법칙을 연립해 유도할 수 있고, 오일러의 공식을 이용해 유도할 수도 있다.

(복부호 동순)

두 각의 크기가 같을 경우에는 덧셈정리를 간단하게 배각공식을 이용할 수 있다.

모든 삼각 함수는 다른 삼각 함수를 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

  sin cos tan cot sec csc
sin
cos
tan
cot
sec
csc

미분과 적분[편집]

다음은 6개의 기본 삼각함수에 대한 도함수와 부정적분이다.

함수 도함수 부정적분

삼각함수 에 대한 미분[편집]

삼각함수 에 대한 테일러 급수에서의 미분 계산

테일러 급수 일때,

삼각함수 에 대하여 일 때,

따라서, 삼각함수 에 대하여,

따라서,

따라서,

삼각함수 에 대한 미분[편집]

삼각함수 에 대한 테일러 급수에서의 미분 계산

테일러 급수 일 때,

삼각함수 에 대하여 일 때,

따라서, 삼각함수 에 대하여,

따라서,

따라서,

응용[편집]

사인 법칙[편집]

사인 법칙은 임의의 삼각형 ABC에서 각 A, B, C의 대변 a, b, c에 대해 다음과 같은 관계를 만족함을 나타낸다.

마찬가지로,

도 성립한다. 여기서 R은 삼각형의 외접원의 반지름의 길이를 나타낸다.

코사인 법칙[편집]

코사인 법칙에는 총 두 가지의 법칙이 있다.

코사인 제 1 법칙에 따르면,

앙변의 길이와 알고자 하는 변 사이의 두 각의 크기를 알 경우, 다른 한 변의 길이를 알아낼 때 사용할 수 있다.

코사인 제 2 법칙피타고라스의 정리를 확장한 것이다.

가 성립하고, 위의 식을 변형하면

와 같이 나타낼 수 있다.

코사인법칙은 두 변의 길이와 끼인각의 크기를 알 때 삼각형의 나머지 한 변의 길이를 구할 때 유용하게 쓸 수 있다. 또한 모든 변의 길이를 알고 있을 때 각의 코사인값을 구할 때에도 사용할 수 있다.

탄젠트 법칙[편집]

탄젠트법칙은 임의의 삼각형 ABC에서 각 A, B의 대변 a, b에 다음과 같은 식을 만족시킨다.

같이 보기[편집]

외부 링크[편집]

참고[편집]