오일러의 공식

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는 복소평면에서 단위원을 뜻한다.

오일러의 공식은 수학자 레온하르트 오일러의 이름이 붙은 공식으로, 복소수 지수를 정의하는 데에 출발점이 되며, 삼각함수지수함수에 대한 관계를 나타낸다. 오일러의 등식은 이 공식의 특수한 경우이다.

오일러의 공식은 다음과 같다. 실수 x 에 대해, 허수 지수 ix를 다음과 같이 정의한다.

여기서, e는 자연로그의 밑인 상수이고, 는 제곱하여 -1이 되는() 허수단위, 삼각함수의 사인과 코사인 함수이다.

를 대입하여, 이라는 오일러의 등식을 구할 수 있다.

역사[편집]

오일러 공식은 1714년 로저 코츠가 다음과 같은 형태로 처음 발견하였다.

지금과 같은 모양의 오일러의 공식은 1748년 오일러가 무한급수의 좌우 극한값이 같음을 증명하면서 발표되었다. 그러나 로저와 오일러 모두 이 공식이 지닌 '복소수복소평면 위의 하나의 점으로 볼 수 있다'는 기하학적 의미를 눈치채지는 못하였고, 이것은 약 50년이 지난 후에나 발견되었다. 오일러는 현재의 교육과정에서 보다 훨씬 이른 시기에 학생들에게 복소수를 가르쳤다. 그의 기초 대수학 교재인 대수학 원론(Elements of Algebra)에 보면 교재의 거의 맨 앞부분부터 복소수를 도입하고 있고 교재 전체를 통틀어 자연스럽게 사용하고 있다.

발견적인 증명[편집]

테일러 급수를 이용한 방법[편집]

테일러 급수에 따라 실수 범위에서 다음의 식이 성립한다.

이때 x가 복소수일 때에 앞의 무한급수를 각각의 함수로 정의한다. 그러면

가 된다.

미분 계산을 이용한 방법[편집]

라면,
(단, 는 상수)

(1)에 을 대입하면,

Q.E.D.

미적분을 이용한 방법[편집]

다음과 같은 복소수 를 생각하자:

양변을 에 대해 미분하면:

이므로:

양변을 적분하면:

(여기에서 는 적분 상수이다.)

이제 이라는 것을 증명한다. 일 경우를 계산해보면

따라서

따라서 다음과 같은 식이 성립한다:

Q.E.D.

미분방정식을 이용한 방법[편집]

함수 를 다음과 같이 정의한다.

허수단위 는 상수이므로 도함수이계도함수는 다음과 같다.

이로부터

또는
라는 2차 선형 미분방정식이 만들어지고,

일차 독립인 두 해가 발생한다.

한편, 차수가 같은 미분방정식의 어떤 선형 결합도 해가 될 수 있으므로 위의 미분방정식의 일반적인 해는 다음과 같다.

(는 상수)

그리고 여기에 함수 의 초기 조건

을 대입하면,


곧,

이므로

이다.

Q.E.D.

cis 함수[편집]

cis 함수 또는 복소 지수 함수는 오일러의 공식으로부터 바로 유도되는 함수로, 다음과 같이 정의되는 것이다.

e 함수는 푸리에 변환이나 페이저 등에서 복소수와 관련된 연산을 할 때 흔히 사용되는 것이다.

같이 보기[편집]