일차독립

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선형대수학에서, 선형독립(線形獨立, linear independence) 또는 일차독립(一次獨立)은 남은 벡터들의 선형결합인 벡터가 존재하지 않는다는, 벡터 집합에 대한 성질이다. 선형독립이 아닌, 즉 남은 벡터의 선형결합인 벡터가 있는 벡터 집합을 선형종속(線形從屬, linear dependence) 또는 일차종속(一次從屬)이라고 한다.

정의[편집]

V체 (수학) K 위의 벡터 공간이고, SV의 부분집합이라고 하자. 우선 유한집합인 S = \{\mathbf{v}_1, \cdots, \mathbf{v}_n\}에 대해, 만약

c_1\mathbf{v}_1 + c_2\mathbf{v}_2 + \cdots + c_n\mathbf{v}_n = \mathbf{0}

인, 모두 0이지는 않은 계수 c_1, \cdots, c_n \in K가 존재하면, S선형(일차)종속이라고 한다. 대신 \mathbf{v}_1, \cdots, \mathbf{v}_n이 선형종속이라고하기도 한다. 만약 선형독립이 아니면, S선형(일차)독립이라고 한다. 이는 위의 식이 c_1 = \cdots = c_n = 0을 함의한다는 것과 동치이다.

무한집합일 수도 있는 S에 대해, 만약 S의 어떤 유한 부분집합이 선형종속이라면, 즉 어떤 \mathbf{v}_1, \cdots, \mathbf{v}_n \in S와 모두 0이지는 않은 c_1, \cdots c_n이 존재하여 위의 식이 성립한다면, S가 선형(일차)종속이라고 하고, 그렇지 않으면 선형(일차)독립이라고 한다. 마찬가지로, 선형독립은 위의 식이 계수가 모두 0임을 함의한다는 것과 동치이다.

[편집]

정의에 의해, 다음 몇 가지 경우의 선형독립 여부는 자명하다.

  • \mathbf{0}이 아닌 벡터 \mathbf{v} 혼자는 선형독립이다.
  • \mathbf{0}을 포함한, 임의의 유한 또는 무한 개의 벡터의 집합 S는 선형종속이다.
  • 선형독립인 벡터 집합의 임의의 부분집합은 선형독립이다.
  • 선형종속인 벡터 집합을 포함하는 임의의 벡터 집합은 선형종속이다.