일차독립

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
(일차 독립에서 넘어옴)
이동: 둘러보기, 검색

선형대수학에서, 선형독립(線形獨立, linear independence) 또는 일차독립(一次獨立)은 남은 벡터들의 선형결합인 벡터가 존재하지 않는다는, 벡터 집합에 대한 성질이다. 선형독립이 아닌, 즉 남은 벡터의 선형결합인 벡터가 있는 벡터 집합을 선형종속(線形從屬, linear dependence) 또는 일차종속(一次從屬)이라고 한다.

정의[편집]

체 (수학) 위의 벡터 공간이고, 의 부분집합이라고 하자. 우선 유한집합인 에 대해, 만약

인, 모두 0이지는 않은 계수 가 존재하면, 선형(일차)종속이라고 한다. 대신 이 선형종속이라고하기도 한다. 만약 선형종속이 아니면, 선형(일차)독립이라고 한다. 이는 위의 식이 을 함의한다는 것과 동치이다.

무한집합일 수도 있는 에 대해, 만약 의 어떤 유한 부분집합이 선형종속이라면, 즉 어떤 와 모두 0이지는 않은 이 존재하여 위의 식이 성립한다면, 가 선형(일차)종속이라고 하고, 그렇지 않으면 선형(일차)독립이라고 한다. 마찬가지로, 선형독립은 위의 식이 계수가 모두 0임을 함의한다는 것과 동치이다.

[편집]

정의에 의해, 다음 몇 가지 경우의 선형독립 여부는 자명하다.

  • 이 아닌 벡터 혼자는 선형독립이다.
  • 을 포함한, 임의의 유한 또는 무한 개의 벡터의 집합 는 선형종속이다.
  • 선형독립인 벡터 집합의 임의의 부분집합은 선형독립이다.
  • 선형종속인 벡터 집합을 포함하는 임의의 벡터 집합은 선형종속이다.