한원소 집합

집합론에서 한원소 집합(한元素集合, 영어: singleton set)은 하나의 원소만을 갖는 집합이다.

정의

집합 $S$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 집합을 한원소 집합이라고 한다.

• 집합의 크기가 1이다.
• $S\neq \emptyset$이며, 임의의 $a,b\in S$에 대하여, $a=b$이다.
• $S$는 두 개의 부분 집합을 가진다. 즉, 멱집합 ${\mathcal {P}}(S)$의 크기는 2이다.
• 집합과 함수의 범주 $\operatorname {Set}$에서의 끝 대상이다. 즉, 임의의 집합 $T$에 대하여, $T$에서 $S$로 가는 함수는 유일하다.
• 임의의 집합 $T$ 및 함수 $f\colon S\to T$에 대하여, $f$는 단사 함수이다.
• 임의의 집합 $T$ 및 함수 $f\colon T\to S$에 대하여, $f$는 전사 함수이다.
• 임의의 집합 $T$에 대하여, 곱집합 $S\times T$는 $T$와 같은 크기를 갖는다. 즉, 전단사 함수 $\pi _{2}\colon S\times T\to T$가 존재한다.

한원소 공간

위상 공간 $X$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 한원소 공간(영어: singleton space)이라고 한다.

• 집합으로서 한원소 집합이다.
• 위상 공간과 연속 함수의 범주의 끝 대상이다. 즉, 임의의 위상 공간 $Y$에 대하여, 연속 함수 $X\to Y$가 유일하게 존재한다.
• $X\cong \operatorname {Spec} K$인 체 $K$가 존재한다. 여기서 $\operatorname {Spec}$은 환의 스펙트럼이다.
• 임의의 체 $K$에 대하여, $X\cong \operatorname {Spec} K$이다.
• 이산 공간이자 비이산 공간이며, 공집합이 아니다.
• 콜모고로프 공간이자 비이산 공간이며, 공집합이 아니다.
• 하우스도르프 공간이자 비이산 공간이며, 공집합이 아니다.
• 이산 공간이자 연결 공간이며, 공집합이 아니다.

한원소 대수 구조

임의의 부호수에 대하여, 한원소 집합 위에는 유일한 대수 구조를 줄 수 있다. 예를 들어, 군의 구조를 주면 자명군, 환의 구조를 주면 자명환이 된다. 이는 대수 구조 다양체 범주에서 끝 대상을 이룬다.

같이 보기

• 자명군
• 자명환
• 모임 (집합론)

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Singleton set” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.