전체 확률의 법칙

전체 확률의 법칙(全體 確率의 法則, law of total probability) 또는 전확률 정리는 조건부 확률과 관계된 법칙이다. 조건부 확률로부터 조건이 붙지 않은 확률을 계산할 때 쓸 수 있다. 또한 베이즈 정리 공식의 일부에 전확률 정리 공식이 들어간다.

사상(집합) B는 사상 A의 부분 사상이고, 사상 A가 사상 A₁, A₂, ..., A_k로 나눌 수 있을 때 전확률 공식이 성립한다.

베이즈 정리 유도

• 조건부 확률

$P(A|B)={\frac {P(B\cap A)}{P(B)}}$

• 곱셈 공식

P(A∩B) = P(A|B)P(B) = P(B∩A) = P(B|A)P(A)

A와 B가 독립시행일 경우 P(A∩B) = P(A)*P(B)

• 전체 확률의 법칙

P(B) = P(B∩A)

= P(B∩A₁) + P(B∩A₂)

= P(B|A₁)P(A₁) + P(B|A₂)P(A₂)

• 베이즈 정리

$P(A_{1}|B)={\frac {P(B\cap A_{1})}{P(B)}}$

= ${\frac {P(B|A_{1})P(A_{1})}{P(B)}}$

= ${\frac {P(B|A_{1})P(A_{1})}{P(B|A_{1})P(A_{1})+P(B|A_{2})P(A_{2})}}$