확률공간

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확률론에서, 확률 공간(確率空間, 영어: probability space)은 전체 측도가 1인 측도 공간이다. 확률적인 현상에서, 확률공간의 측도확률을 정의한다.

정의[편집]

확률 공간 은 공간 전체의 측도가 1인 측도 공간이다.

확률론에서는 측도론의 용어와 다른 각종 용어들이 사용된다.

  • 확률공간의 점들의 집합 표본 공간이라고 한다.
  • 확률공간의 가측 집합 사건(영어: event)이라고 한다.
  • 사건 측도 는 사건의 확률(영어: probability)이라고 한다.

확률론의 용어를 사용한다면, 측도 공간의 각종 성질은 다음과 같다.

  • 사건 에 대하여, 그 여집합 역시 사건이다. 즉, 어떤 사건에 대하여, 그 사건이 일어나지 않는 경우 역시 사건이다.
  • 가산 개의 사건들이 주어졌을 때, 그 합집합과 교집합 역시 사건이다. 즉, 사건들의 열이 주어졌을 때, 사건의 열 가운데 적어도 하나가 일어나는 경우(합집합)도 사건을 이루며, 사건의 열이 모두 일어나는 경우 (교집합) 역시 사건을 이룬다.
  • 공집합과 전체집합은 사건이다. 즉, 불가능한 사건(공집합)과 필연적인 사건(전체집합)이 존재한다.

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확률 공간의 기초적인 예로는 다음이 있다.

유한 확률 공간[편집]

유한 집합 및 음이 아닌 실수 값의 함수 을 부여하고, 또한

이라고 하면, 다음과 같은 확률 공간 을 정의할 수 있다.

  • 표본 공간은 유한 집합 이다.
  • 사건 시그마 대수는 이산 시그마 대수 이다. 즉, 표본 공간의 모든 부분 집합이 사건을 이룬다.
  • 사건 의 확률은 다음과 같다.

유클리드 공간의 부분 공간[편집]

측도 공간 에서, 측도가 양의 실수인 가측 집합

이 주어졌다면, 다음과 같은 확률공간 을 정의할 수 있다.

  • 표본 공간은 이다.
  • 사건 시그마 대수는 이다.
  • 사건 의 확률은 다음과 같다.

예를 들어, 유클리드 공간의 유한 측도 부분 집합을 확률 공간으로 삼을 수 있다.

참고 문헌[편집]

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]