확률변수

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확률변수(確率變數, random variable)는 여러 가지 값을 가질 수 있으며, 각 값을 가질 확률이 정의되어 있는 변수이다. 예를 들어, 주사위를 던질 때 나오는 눈의 수는 확률변수이며, 이때 그 값이 1일 확률은 1/6이 된다.

정의[편집]

확률공간 (\Omega, \mathcal{F}, P)측도공간 (E, \mathcal{E})에 대해, (E, \mathcal{E})의 값을 가지는 확률변수 XX: (\Omega, \mathcal{F}) \to (E, \mathcal{E})가측함수로 정의된다. 즉, XX: \Omega \to E이고 (\mathcal{F}, \mathcal{E})에 대해 측도가능한 함수이다.

E = \mathbb{R}, \mathcal{E} = \mathfrak{B}(\mathbb{R})(보렐 집합의 모임)인 경우는 치역에 대한 표기를 생략하여 확률변수라고 부르기도 한다.

B \in \mathcal{E}에 대해, [X \in B]X^{-1}(B), 즉 \{\omega \in \Omega: X(\omega) \in B\}의 의미로 사용한다. 예를 들어, P(X \in B)P(X^{-1}(B))를 의미한다. 이러한 표기 방식은 [X \le c]와 같은 곳에도 마찬가지로 사용한다.