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확률론 에서, 조건부 확률 (條件附確率, 영어 : conditional probability )은 주어진 사건이 일어났다는 가정 하에 다른 한 사건이 일어날 확률 을 뜻한다. 원래의 확률 함수를
Pr
{\displaystyle \operatorname {Pr} }
라고 할 때, 사건
B
{\displaystyle B}
가 일어났다는 가정 하에 사건
A
{\displaystyle A}
가 일어날 조건부 확률은
Pr
(
A
|
B
)
{\displaystyle \operatorname {Pr} (A|B)}
로 표기한다.
확률 공간
(
Ω
,
F
,
Pr
)
{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {Pr} )}
및 양의 확률의 사건
A
∈
F
{\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}
Pr
(
A
)
>
0
{\displaystyle \operatorname {Pr} (A)>0}
이 주어졌다고 하자. 임의의 사건
B
∈
F
{\displaystyle B\in {\mathcal {F}}}
에 대하여,
A
{\displaystyle A}
에 대한
B
{\displaystyle B}
의 조건부 확률 은 다음과 같다.
Pr
(
B
|
A
)
=
Pr
(
A
∩
B
)
Pr
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {Pr} (B|A)={\frac {\operatorname {Pr} (A\cap B)}{\operatorname {Pr} (A)}}}
이 경우,
(
Ω
,
F
,
Pr
(
⋅
|
A
)
)
{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {Pr} (\cdot |A))}
는 새로운 확률 공간 을 이룬다.
우선
Pr
(
Ω
|
A
)
=
Pr
(
A
∩
Ω
)
Pr
(
A
)
=
Pr
(
A
)
Pr
(
A
)
=
1
{\displaystyle \operatorname {Pr} (\Omega |A)={\frac {\operatorname {Pr} (A\cap \Omega )}{\operatorname {Pr} (A)}}={\frac {\operatorname {Pr} (A)}{\operatorname {Pr} (A)}}=1}
이다. 이제 임의의 가산 개의 서로소 사건들
G
⊆
F
{\displaystyle {\mathcal {G}}\subseteq {\mathcal {F}}}
이 주어졌다고 하자. 그렇다면
{
A
∩
B
}
B
∈
G
{\displaystyle \{A\cap B\}_{B\in {\mathcal {G}}}}
역시 서로소 사건들이므로
Pr
(
⋃
G
|
A
)
=
Pr
(
⋃
G
∩
A
)
Pr
(
A
)
=
Pr
(
⋃
B
∈
G
(
A
∩
B
)
)
Pr
(
A
)
=
∑
B
∈
G
Pr
(
A
∩
B
)
Pr
(
A
)
=
∑
B
∈
G
Pr
(
B
|
A
)
{\displaystyle \operatorname {Pr} \left(\left.\bigcup {\mathcal {G}}\right|A\right)={\frac {\operatorname {Pr} \left(\bigcup {\mathcal {G}}\cap A\right)}{\operatorname {Pr} (A)}}={\frac {\operatorname {Pr} \left(\bigcup _{B\in {\mathcal {G}}}(A\cap B)\right)}{\operatorname {Pr} (A)}}={\frac {\sum _{B\in {\mathcal {G}}}\operatorname {Pr} (A\cap B)}{\operatorname {Pr} (A)}}=\sum _{B\in {\mathcal {G}}}\operatorname {Pr} (B|A)}
이다.
확률 공간
(
Ω
,
F
,
Pr
)
{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {Pr} )}
및 두 사건
A
,
B
∈
F
{\displaystyle A,B\in {\mathcal {F}}}
이 주어졌다고 하자. 만약 한 사건이 양의 확률
Pr
(
A
)
>
0
{\displaystyle \operatorname {Pr} (A)>0}
을 가질 경우, 두 사건의 교집합의 확률은 조건부 확률을 통해 다음과 같이 나타낼 수 있다.[1] :15
Pr
(
A
∩
B
)
=
Pr
(
A
)
Pr
(
B
|
A
)
{\displaystyle \operatorname {Pr} (A\cap B)=\operatorname {Pr} (A)\operatorname {Pr} (B|A)}
즉, 두 사건이 동시에 일어날 확률은
A
{\displaystyle A}
가 일어날 확률과
A
{\displaystyle A}
가 일어났을 때
B
{\displaystyle B}
가 일어날 확률의 곱이다. 보다 일반적으로, 임의의
n
{\displaystyle n}
개의 사건
A
1
,
…
,
A
n
∈
F
{\displaystyle A_{1},\dots ,A_{n}\in {\mathcal {F}}}
에 대하여, 만약
Pr
(
A
1
∩
⋯
∩
A
n
−
1
)
>
0
{\displaystyle \operatorname {Pr} (A_{1}\cap \cdots \cap A_{n-1})>0}
이라면, 다음이 성립한다.
Pr
(
A
1
∩
⋯
∩
A
n
)
=
Pr
(
A
1
)
Pr
(
A
2
|
A
1
)
Pr
(
A
3
|
A
1
∩
A
2
)
⋯
Pr
(
A
n
|
A
1
∩
⋯
∩
A
n
−
1
)
{\displaystyle \operatorname {Pr} (A_{1}\cap \cdots \cap A_{n})=\operatorname {Pr} (A_{1})\operatorname {Pr} (A_{2}|A_{1})\operatorname {Pr} (A_{3}|A_{1}\cap A_{2})\cdots \operatorname {Pr} (A_{n}|A_{1}\cap \cdots \cap A_{n-1})}
특히, 두 사건 가운데 하나가 양의 확률
Pr
(
A
)
>
0
{\displaystyle \operatorname {Pr} (A)>0}
을 가질 경우 다음 두 조건이 서로 동치 이다.
A
,
B
{\displaystyle A,B}
는 독립 사건 이다.
Pr
(
B
|
A
)
=
Pr
(
B
)
{\displaystyle \operatorname {Pr} (B|A)=\operatorname {Pr} (B)}
. 즉
B
{\displaystyle B}
의 조건부 확률과 무조건 확률이 일치한다.
임의의 세 사건
A
,
B
,
C
∈
F
{\displaystyle A,B,C\in {\mathcal {F}}}
에 대하여, 만약
Pr
(
A
∩
B
)
>
0
{\displaystyle \operatorname {Pr} (A\cap B)>0}
이라면, 다음 항등식이 성립한다.
Pr
(
(
C
|
B
)
|
A
)
=
Pr
(
C
|
A
∩
B
)
{\displaystyle \operatorname {Pr} ((C|B)|A)=\operatorname {Pr} (C|A\cap B)}
확률 공간
(
Ω
,
F
,
Pr
)
{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {Pr} )}
및 가산 개의 양의 확률의 사건들의 족
A
⊆
F
{\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {F}}}
|
A
|
≤
ℵ
0
{\displaystyle |{\mathcal {A}}|\leq \aleph _{0}}
Pr
(
A
)
>
0
∀
A
∈
A
{\displaystyle \operatorname {Pr} (A)>0\qquad \forall A\in {\mathcal {A}}}
이 주어졌다고 하고,
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
가 전체 공간
Ω
{\displaystyle \Omega }
을 분할 한다고 하자. 그렇다면, 임의의 사건
B
∈
F
{\displaystyle B\in {\mathcal {F}}}
에 대하여, 다음과 같은 항등식들이 성립한다.
Pr
(
B
)
=
∑
A
∈
A
Pr
(
A
)
Pr
(
B
|
A
)
{\displaystyle \operatorname {Pr} (B)=\sum _{A\in A}\operatorname {Pr} (A)\operatorname {Pr} (B|A)}
(전체 확률의 법칙 )
Pr
(
A
|
B
)
=
Pr
(
A
)
Pr
(
B
|
A
)
∑
A
′
∈
A
Pr
(
A
′
)
Pr
(
B
|
A
′
)
(
A
∈
A
,
B
∈
F
,
Pr
(
B
)
>
0
)
{\displaystyle \operatorname {Pr} (A|B)={\frac {\operatorname {Pr} (A)\operatorname {Pr} (B|A)}{\sum _{A'\in {\mathcal {A}}}\operatorname {Pr} (A')\operatorname {Pr} (B|A')}}\qquad ({\mathcal {A}}\in {\mathcal {A}},\;B\in {\mathcal {F}},\;\operatorname {Pr} (B)>0)}
(베이즈 정리 )
같이 보기 [ 편집 ]
↑ 《수리통계학 입문》 1판. 1995년 3월 10일.
외부 링크 [ 편집 ]