조건부 확률

확률론에서 조건부 확률(條件附確率, 영어: conditional probability)은 주어진 사건이 일어났다는 가정 하에 다른 한 사건이 일어날 확률을 뜻한다. 원래의 확률 함수를 $\operatorname {Pr}$라고 할 때, 사건 $B$가 일어났다는 가정 하에 사건 $A$가 일어날 조건부 확률은 $\operatorname {Pr} (A|B)$로 표기한다.

정의

확률 공간 $(\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {Pr} )$ 및 양의 확률의 사건

$A\in {\mathcal {F}}$

$\operatorname {Pr} (A)>0$

이 주어졌다고 하자. 임의의 사건 $B\in {\mathcal {F}}$에 대하여, $A$에 대한 $B$의 조건부 확률은 다음과 같다.

$\operatorname {Pr} (B|A)={\frac {\operatorname {Pr} (A\cap B)}{\operatorname {Pr} (A)}}$

이 경우, $(\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {Pr} (\cdot |A))$는 새로운 확률 공간을 이룬다.

증명:

우선

$\operatorname {Pr} (\Omega |A)={\frac {\operatorname {Pr} (A\cap \Omega )}{\operatorname {Pr} (A)}}={\frac {\operatorname {Pr} (A)}{\operatorname {Pr} (A)}}=1$

이다. 이제 임의의 가산 개의 서로소 사건들 ${\mathcal {G}}\subseteq {\mathcal {F}}$이 주어졌다고 하자. 그렇다면 $\{A\cap B\}_{B\in {\mathcal {G}}}$ 역시 서로소 사건들이므로

$\operatorname {Pr} \left(\left.\bigcup {\mathcal {G}}\right|A\right)={\frac {\operatorname {Pr} \left(\bigcup {\mathcal {G}}\cap A\right)}{\operatorname {Pr} (A)}}={\frac {\operatorname {Pr} \left(\bigcup _{B\in {\mathcal {G}}}(A\cap B)\right)}{\operatorname {Pr} (A)}}={\frac {\sum _{B\in {\mathcal {G}}}\operatorname {Pr} (A\cap B)}{\operatorname {Pr} (A)}}=\sum _{B\in {\mathcal {G}}}\operatorname {Pr} (B|A)$

이다.

성질

확률 공간 $(\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {Pr} )$ 및 두 사건 $A,B\in {\mathcal {F}}$이 주어졌다고 하자. 만약 한 사건이 양의 확률 $\operatorname {Pr} (A)>0$을 가질 경우, 두 사건의 교집합의 확률은 조건부 확률을 통해 다음과 같이 나타낼 수 있다.^:15

$\operatorname {Pr} (A\cap B)=\operatorname {Pr} (A)\operatorname {Pr} (B|A)$

즉, 두 사건이 동시에 일어날 확률은 $A$가 일어날 확률과 $A$가 일어났을 때 $B$가 일어날 확률의 곱이다. 보다 일반적으로, 임의의 $n$개의 사건 $A_{1},\dots ,A_{n}\in {\mathcal {F}}$에 대하여, 만약 $\operatorname {Pr} (A_{1}\cap \cdots \cap A_{n-1})>0$이라면, 다음이 성립한다.

$\operatorname {Pr} (A_{1}\cap \cdots \cap A_{n})=\operatorname {Pr} (A_{1})\operatorname {Pr} (A_{2}|A_{1})\operatorname {Pr} (A_{3}|A_{1}\cap A_{2})\cdots \operatorname {Pr} (A_{n}|A_{1}\cap \cdots \cap A_{n-1})$

특히, 두 사건 가운데 하나가 양의 확률 $\operatorname {Pr} (A)>0$을 가질 경우 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $A,B$는 독립 사건이다.
• $\operatorname {Pr} (B|A)=\operatorname {Pr} (B)$. 즉 $B$의 조건부 확률과 무조건 확률이 일치한다.

임의의 세 사건 $A,B,C\in {\mathcal {F}}$에 대하여, 만약 $\operatorname {Pr} (A\cap B)>0$이라면, 다음 항등식이 성립한다.

$\operatorname {Pr} ((C|B)|A)=\operatorname {Pr} (C|A\cap B)$

확률 공간 $(\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {Pr} )$ 및 가산 개의 양의 확률의 사건들의 족

${\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {F}}$

$|{\mathcal {A}}|\leq \aleph _{0}$

$\operatorname {Pr} (A)>0\qquad \forall A\in {\mathcal {A}}$

이 주어졌다고 하고, ${\mathcal {A}}$가 전체 공간 $\Omega$을 분할한다고 하자. 그렇다면, 임의의 사건 $B\in {\mathcal {F}}$에 대하여, 다음과 같은 항등식들이 성립한다.

$\operatorname {Pr} (B)=\sum _{A\in A}\operatorname {Pr} (A)\operatorname {Pr} (B|A)$ (전체 확률의 법칙)

$\operatorname {Pr} (A|B)={\frac {\operatorname {Pr} (A)\operatorname {Pr} (B|A)}{\sum _{A'\in {\mathcal {A}}}\operatorname {Pr} (A')\operatorname {Pr} (B|A')}}\qquad ({\mathcal {A}}\in {\mathcal {A}},\;B\in {\mathcal {F}},\;\operatorname {Pr} (B)>0)$ (베이즈 정리)

같이 보기

• 몬티 홀 문제

외부 링크

• “Conditional probability”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Conditional probability”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.