조건부 확률

조건부 확률은 어떤 사건 B가 일어났을 때 사건 A가 일어날 확률을 의미한다. 사건 B가 발생했을 때 사건 A가 발생할 확률은 사건 B의 영향을 받아 변하는데 이를 조건부 확률이라 한다. 기호로는 $P(A|B)$으로 표현한다.

정의

확률 공간 Ω에서의 두 사건 A, B에 대해서 $P(B) > 0$일 때 사건 B가 일어났을 때 사건 A의 조건부 확률은

$P(A|B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

로 정의한다.

소개

정육면체인 주사위 2개에 대해 다음 사건을 정의해 보자.

A: 주사위 1의 눈의 수가 3개이다.

B: 주사위 2의 눈의 수가 1개이다.

C: 두 주사위의 눈의 수의 합은 8이다.

여기서 $P(A) = P(B) = \frac 1 6$이고 $P(C) = \frac 5 {36}$이다. 이 중 몇 개의 사건은 동시에 일어날 수 있다. A와 C가 동시에 발생하려면 주사위 2의 눈의 수가 5이어야 하므로 두 사건의 곱사건으로 확률은 $P(A \cap C) = \frac 1 {36}$이다. 한편 B와 C는 동시에 일어나지 않으므로 $P(B \cap C)=0$이다.

여기서 주사위 2는 덮어두고 주사위 1의 눈이 3이 나왔다고 가정하자. 그러면 사건 C가 일어날 확률은 주사위 2의 눈이 반드시 5가 나와야 하므로 5/36이 아니라 1/6이 된다. 이를 사건 A가 일어났을 때 사건 C가 일어날 조건부 확률이라 하며 $P(C|A)$로 표현한다.

한편 사건 A는 사건 B가 일어나는 데 영향을 주지 않는다. 이 때 두 사건은 서로 독립이며 다음 관계가 성립한다.

$P(B|A)=P(B)$

독립사건에서의 조건부 확률

두 사건 A, B에 대해서 두 사건의 곱사건의 확률이 각 사건의 확률을 곱한 것과 같을 때, 즉

$P(A \cap B) = P(A)P(B)$

일 때 두 사건 A와 B는 서로 독립이라고 하며 다음과 같은 성질이 성립한다.

$P(A|B)=P(A)$

$P(B|A)=P(B)$

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