조건부 확률

조건부 확률(conditional probability)은 어떤 사건 B가 일어났을 때 사건 A가 일어날 확률을 의미한다. 사건 B가 발생했을 때 사건 A가 발생할 확률은 사건 B의 영향을 받아 변하는데 이를 조건부 확률이라 한다. 기호로는 $P(A|B)$으로 표현한다.

정의

확률 공간 Ω에서의 두 사건 A, B에 대해서 $P(B)>0$일 때 사건 B가 일어났을 때 사건 A의 조건부 확률은

$P(A|B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}$

로 정의한다.

독립사건에서의 조건부 확률

두 사건 A, B에 대해서 두 사건의 곱사건의 확률이 각 사건의 확률을 곱한 것과 같을 때, 즉

$P(A\cap B)=P(A)P(B)$

일 때 두 사건 A와 B는 서로 독립이라고 하며 다음과 같은 성질이 성립한다.

$P(A|B)=P(A)$

$P(B|A)=P(B)$

결합확률

두 가지 이상의 사상이 동시에 발생하는 확률을 결합확률이라고 하며 그 식은 다음과 같다.

$P(A|B)P(B)=P(A\cap B)$

베이즈 정리 유도

• 조건부 확률

$P(A|B)={\frac {P(B\cap A)}{P(B)}}$

• 곱셈 공식

P(A∩B) = P(A|B)P(B) = P(B∩A) = P(B|A)P(A)

A와 B가 독립시행일 경우 P(A∩B) = P(A)*P(B)

• 전체 확률의 법칙

P(B) = P(B∩A)

= P(B∩A₁) + P(B∩A₂)

= P(B|A₁)P(A₁) + P(B|A₂)P(A₂)

• 베이즈 정리

$P(A_{1}|B)={\frac {P(B\cap A_{1})}{P(B)}}$

= ${\frac {P(B|A_{1})P(A_{1})}{P(B)}}$

= ${\frac {P(B|A_{1})P(A_{1})}{P(B|A_{1})P(A_{1})+P(B|A_{2})P(A_{2})}}$

함께 보기

• 베이즈 정리
• 몬티 홀 문제