조건부 확률

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확률론에서, 조건부 확률(條件附確率, 영어: conditional probability)은 주어진 사건이 일어났다는 가정 하에 다른 한 사건이 일어날 확률을 뜻한다. 원래의 확률 함수를 라고 할 때, 사건 가 일어났다는 가정 하에 사건 가 일어날 조건부 확률은 로 표기한다.

정의[편집]

확률 공간 및 양의 확률의 사건

이 주어졌다고 하자. 임의의 사건 에 대하여, 에 대한 조건부 확률은 다음과 같다.

이 경우, 는 새로운 확률 공간을 이룬다.

증명:

우선

이다. 이제 임의의 가산 개의 서로소 사건들 이 주어졌다고 하자. 그렇다면 역시 서로소 사건들이므로

이다.

성질[편집]

확률 공간 및 두 사건 이 주어졌다고 하자. 만약 한 사건이 양의 확률 을 가질 경우, 두 사건의 교집합의 확률은 조건부 확률을 통해 다음과 같이 나타낼 수 있다.[1]:15

즉, 두 사건이 동시에 일어날 확률은 가 일어날 확률과 가 일어났을 때 가 일어날 확률의 곱이다. 보다 일반적으로, 임의의 개의 사건 에 대하여, 만약 이라면, 다음이 성립한다.

특히, 두 사건 가운데 하나가 양의 확률 을 가질 경우 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • 독립 사건이다.
  • . 즉 의 조건부 확률과 무조건 확률이 일치한다.

임의의 세 사건 에 대하여, 만약 이라면, 다음 항등식이 성립한다.

확률 공간 가산 개의 양의 확률의 사건들의 족

이 주어졌다고 하고, 가 전체 공간 분할한다고 하자. 그렇다면, 임의의 사건 에 대하여, 다음과 같은 항등식들이 성립한다.

(전체 확률의 법칙)
(베이즈 정리)

같이 보기[편집]

각주[편집]

  1. 《수리통계학 입문》 1판. 1995년 3월 10일. 

외부 링크[편집]