가측 함수

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측도론에서 가측 함수(可測函數, 영어: measurable function)는 원상이 가측성을 보존하는 함수이다.

정의[편집]

가측 공간 , 사이의 가측 함수 는 다음 성질을 만족시키는 함수이다.

  • 모든 에 대하여,

만약 공역유클리드 공간인 경우, 보통 공역에 보렐 시그마 대수를 부여한다. 만약 정의역유클리드 공간일 영우, 보통 공역에 르베그 시그마 대수를 부여한다. 즉, "가측 함수 "는 보통 을 의미한다.

성질[편집]

두 가측 함수

가 주어졌을 때, 그 합성 함수

역시 가측 함수이다.

보렐 가측 함수[편집]

보렐 시그마 대수를 갖춘 위상 공간이라고 하면, 다음이 성립한다.

  • 사이의 모든 연속 함수는 가측 함수이다.
  • 반대로, 루진의 정리에 따르면, 제2 가산 공간이며 라돈 측도가 부여되었다면, 모든 가측 함수 의 (라돈 측도에 대하여) 거의 어디서나 연속 함수이다.

가 임의의 가측 공간일 경우, 다음이 성립한다.

  • 두 가측 함수 에 대하여, 는 가측 함수이다.
  • 가측 함수의 열 의 점별 극한은 가측 함수이다.
  • 모든 르베그 적분 가능 함수 는 가측 함수이다.

르베그 가측 함수[편집]

임의의 함수 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • 는 가측 함수이다.
  • 다음 함수는 르베그 적분 가능 함수이다.

바나흐 공간 값 가측 함수[편집]

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

  • 가측 공간
  • (표준적인 위상과 보렐 시그마 대수를 갖춘) -바나흐 공간

그렇다면, 단순 함수는 다음과 같은 꼴의 함수 이다.

(여기서 지시 함수이다.)

이제, 함수 에 대하여, 다음 세 조건을 정의하자.

  • (강가측 함수, 强可測函數, 영어: strongly measurable function) 단순 함수의 열의 점별 극한이다.
  • (약가측 함수, 弱可測函數, 영어: weakly measurable function) 임의의 연속 쌍대 공간 원소 에 대하여, 는 가측 함수이다.
  • (분해 가능 값 함수, 分解可能값函數, 영어: separably valued function) 분해 가능 부분 공간 가 존재한다.

이 경우, 모든 강가측 함수는 가측 함수이며, 모든 가측 함수는 약가측 함수이다. 또한, 페티스 가측성 정리(Pettis可測性定理, 영어: Pettis measurability theorem)에 따르면, 함수 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[1]:5, Theorem 1.1.6

  • 강가측 함수이다.
  • 약가측 함수이며, 분해 가능 값 함수이다.

특히, 만약 분해 가능 바나흐 공간일 경우, 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

  • 강가측 함수이다.
  • 가측 함수이다.
  • 약가측 함수이다.

가측 공간 및 두 -바나흐 공간 , 가 주어졌다고 하자. 만약 가 강가측 함수이며, 가 가측 함수라면, 는 강가측 함수이다.[1]:7, Corollary 1.1.11

[편집]

정의에 따르면 확률 변수확률 공간을 정의역으로 하는 가측 함수이다.

모든 함수가 가측 함수는 아니다. 예를 들면, 만약 가 가측 집합이 아닌 경우, 지시 함수 는 가측 함수가 아니다.

강가측 함수가 아닌 가측 함수[편집]

분해 불가능 -바나흐 공간 위의 항등 함수

를 생각하자. 이는 연속 함수이므로 보렐 가측 함수이다. 그러나 가 분해 가능하지 않으므로, 페티스 가측성 정리에 따라 는 강가측 함수가 아니다.[1]:4, Example 1.1.5

가측 함수가 아닌 약가측 함수[편집]

실수의 셈측도 공간 위의 르베그 공간 를 공역으로 하는, 다음과 같은 함수를 정의하자.

그렇다면, 는 약가측 함수이지만, 가측 함수가 아니다. 우선, 임의의 에 대하여,

는 가측 함수이다. 또한, 비가측 집합 에 대하여,

열린집합이므로 가측 집합이지만, 그 원상

는 가측 집합이 아니다.

참고 문헌[편집]

  1. Hytönen, Tuomas; van Neerven, Jan; Veraar, Mark; Weis, Lutz (2016). 《Analysis in Banach Spaces. Volume I: Martingales and Littlewood-Paley Theory》. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge / A Series of Modern Surveys in Mathematics (영어) 63. Cham: Springer. doi:10.1007/978-3-319-48520-1. ISBN 978-3-319-48519-5. ISSN 0071-1136. LCCN 2016955329. 
  • Billingsley, Patrick (1995). 《Probability and Measure》. Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics (영어) 3판. New York, N.Y.: Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-00710-4. 

외부 링크[편집]