가측 공간

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측도론에서, 가측 공간(可測空間, 영어: measurable space)은 가측 집합(可測集合, 영어: measurable set)이라는 특별한 부분 집합들에 족이 부여된 집합이다. 가측 집합들은 가산 합집합 · 가산 교집합 · 여집합에 대하여 닫혀 있다. 측도론에서는 모든 집합들에 적절한 측도를 부여하는 것이 불가능하므로 흔히 사용되는 특정 집합들을 골라야 하며, 가측 공간의 개념은 이러한 선택을 공리화하여 얻는다. 두 가측 공간 사이의 자연스러운 사상은 가측 함수라고 한다.

정의[편집]

임의의 집합 에 대하여, 그 멱집합 완비 불 대수이며, 특히 시그마 대수이다.

가측 공간 은 다음과 같은 데이터로 구성된다.

  • 집합이다.
  • 시그마 대수 의 부분 시그마 대수이다. 즉, 다음 두 조건이 성립한다.
    • (여집합에 대한 닫힘) 모든 에 대하여, 이다.
    • (가산 합집합에 대한 닫힘) 가산 부분 집합 ()에 대하여, 이다. (특히, 만약 일 경우 이다.)

의 원소를 가측 집합이라고 한다.

가측 공간들과 가측 함수들은 구체적 범주 를 이룬다.

분리 가측 공간[편집]

가측 공간 가 다음 조건을 만족시킨다면 분리 가측 공간(分離可測空間, 영어: separated measurable space)이라고 한다.

  • , 단사 함수이다. 즉,

임의의 두 점 에 대하여, 만약 라면, 가 존재한다.

성질[편집]

임의의 가측 공간 에서, 공집합 과 전체 집합 은 항상 가측 집합이다.

연산에 대한 닫힘[편집]

집합 위의 1개 이상의 (유한 또는 무한 개의) 임의의 가측 공간 구조들 이 주어졌을 때, 그 교집합

역시 위의 가측 공간 구조이다.[1]:Exercise 1.4.13 (그러나 이는 합집합에 대하여 성립하지 않는다.)

따라서, 임의의 집합족 에 대해, 의 원소들을 가측 집합으로 하는 가장 엉성한 가측 공간 구조가 존재한다.[1]:Definition 1.4.14 구체적으로, 이는 를 포함하는 가측 공간 구조들의 교집합이다. 이를 로 표기하자.

따라서, 주어진 집합 위의 가측 공간 구조들의 족은 완비 격자를 이룬다.

크기[편집]

가측 공간 의 가측 집합의 수는 항상 꼴의 양의 정수이거나, 아니면 이상이다. 특히, 가측 공간은 가산 무한 개의 가측 집합을 가질 수 없다.[2]

증명:

가 무한 개의 가측 집합들을 갖는 가측 공간이라고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 집합렬을 재귀적으로 고른다.

  1. 가 무한 개의 가측 부분 집합들을 갖는다고 가정한다.
  2. 에서, 공집합이나 전체 집합이 아닌 임의의 가측 부분 집합 을 고른다.
  3. 는 무한 개의 가측 부분 집합들을 가지므로, 또는 가운데 적어도 하나가 무한 집합이며, 다음과 같이 정의한다면 역시 무한 개의 가측 부분 집합들을 갖는다.

따라서, 는 가산 무한 개의 서로소 가측 집합들을 이루며,

는 크기 의, 의 부분 집합을 이룬다. 따라서 이다.

집합 의 집합족 에 대하여, 로부터 생성되는 가측 공간 구조 의 크기의 상계는 다음과 같다.[1]:Exercise 1.4.16

이는 초한 귀납법으로 구성할 때 번의 단계로 끝나기 때문이다. (여기서 은 최소의 비가산 순서수이다.)

딘킨 π-λ 정리와 단조류 정리[편집]

집합 속의 집합족 에 대하여 다음 조건들을 정의하자.

  • (π) 는 2항 교집합에 대하여 닫혀 있다. 즉, 임의의 에 대하여, 이다. 이를 만족시키는 집합족을 π계(영어: π-system)라고 한다.
  • (λ) 여집합에 대하여 닫혀 있으며, 가산 개의 서로소 집합들의 합집합에 대하여 닫혀 있다. (특히, 0개의 서로소 집합들의 합집합은 공집합이므로, 이다.) 이를 만족시키는 집합족을 λ계(영어: λ-system)라고 한다.
  • (π′) 의 부분 불 대수를 이룬다. 즉, 여집합 · 유한 교집합 · 유한 합집합에 대하여 닫혀 있으며, 이다. 이를 만족시키는 집합족을 집합체(영어: field of sets)라고 한다.
  • (λ′) 이며, 임의의 에 대하여, 라면, 이며, 임의의 에 대하여, 라면, 이다. 이를 만족시키는 집합족을 단조류(영어: monotone class)라고 한다.

그렇다면, 다음이 성립한다.

집합 속의 집합족 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

  • 시그마 대수이다.
  • (π) 조건과 (λ) 조건을 만족시킨다.
  • (π′) 조건과 (λ′) 조건을 만족시킨다.

집합 속의 집합족 에 대하여, 다음이 성립한다.

  • (딘킨 π-λ 정리 영어: Dynkin π–λ theorem) 가 (π) 조건을 만족시킨다면, 로부터 생성되는, (λ) 조건을 만족시키는 최소의 집합족은 시그마 대수이다.
  • (단조류 정리 영어: monotone class theorem) 가 (π′) 조건을 만족시킨다면, 로부터 생성되는, (λ′) 조건을 만족시키는 최소의 집합족은 시그마 대수이다.

범주론적 성질[편집]

가측 집합과 가측 함수의 범주 구체적 범주

를 이루며, 위상 함자이다. 따라서, 완비 범주이며 쌍대 완비 범주이다.

시작 대상은 (유일한 가측 공간 구조를 갖춘) 공집합이며, 끝 대상은 (유일한 가측 공간 구조를 갖춘) 한원소 집합이다.

[편집]

를 임의의 집합이라고 할 때, 다음은 모두 위의 가측 공간 구조이다.

  • 양의 정수가 아닌 임의의 기수 에 대하여, 시그마 대수를 이룬다. 즉, 이는 의 부분집합 가운데 크기가 이하이거나 그 여집합의 크기가 이하인 집합들의 족이다.
    • 만약 이라면, 이는 이다. 이 집합족은 자명 가측 공간 구조이며, 위의 가장 엉성한 가측 공간 구조이다.
    • 만약 라면, 이는 멱집합 이다. 이를 이산 가측 공간이라고 하며, 이는 위의 가장 섬세한 가측 공간 구조이다.
  • 의 분할 이 주어진다면, 위의 가측 공간 구조를 이룬다.

유한 집합 위의 시그마 대수[편집]

유한 집합 위의 모든 가측 공간 구조는 분할로서 정의된다. 즉, 유한 집합 위의 가측 공간 구조들은 그 분할일대일 대응하며, 크기가 인 유한 집합 위의 가측 공간 구조의 수는 벨 수

1, 1, 2, 5, 15, 52, 203, 877, 4140, 21147, 115975, … (OEIS의 수열 A000110)

이다.

예를 들어, 크기가 3인 유한 집합 위의 분할과 가측 공간 구조들은 다음과 같다.

분할 가측 집합 비고
{a, b, c} {}, {a,b,c} 자명 가측 공간
{a}, {b, c} {}, {a}, {b, c}, {a, b, c}
{a, b}, {c} {}, {a, b}, {c}, {a, b, c}
{a, c}, {b} {}, {a, c}, {b}, {a, b, c}
{a}, {b}, {c} {}, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {b, c}, {a, c}, {a, b, c} 이산 가측 공간

보렐 시그마 대수[편집]

위상 공간 위의 보렐 집합들의 집합은 시그마 대수를 이루며, 이를 보렐 시그마 대수 라고 한다.

위상 공간 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • 는 분리 가측 공간이다.
  • 콜모고로프 공간이다.

유한 집합 위의 모든 가측 공간 구조는 적절한 위상의 보렐 시그마 대수로 나타낼 수 있다. 그러나 무한 집합의 경우 임의의 위상의 보렐 시그마 대상으로 나타낼 수 없는 가측 공간 구조 또한 존재한다.[3][4] 구체적으로, 가 크기 비가산 집합이라고 하자. 크기 2의 이산 공간 의 비가산 곱공간 을 생각하자. 이 곱위상기저

로 생성된다. 그렇다면, 로 생성되는 가측 공간 구조는 위의 임의의 위상의 보렐 시그마 대수로 나타낼 수 없다.

증명:

우선, 이므로,

이다. 귀류법을 사용하여 가 되는 위상 가 존재한다고 하자. 그렇다면 가 분리 시그마 대수이므로 콜모고로프 위상이다. 그러므로

(한원소 집합-폐포)는 단사 함수이며,

인데, 이는 모순이다.

참고 문헌[편집]

  1. Tao, Terrence. 《An introduction to measure theory》 (PDF). Graduate Studies in Mathematics (영어) 126. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-6919-2. 
  2. Hadad, Yaron (2012년 9월 6일). “Why aren't there infinitely countable sigma-algebras?” (영어). 
  3. Ascherl, Albert (1984년 4월). “On the problem of generating sigma-algebras by topologies”. 《Statistics & Decisions》 (영어) 2 (3–4): 377-388. ISSN 0721-2631. doi:10.1524/strm.1984.2.34.377. 
  4. Lang, Robert (1986년 1월). “A simple example of a non-Borel σ-field”. 《Statistics & Decisions》 (영어) 4 (1): 97–98. ISSN 0721-2631. doi:10.1524/strm.1986.4.1.97. 

바깥 고리[편집]