폐포 (위상수학)

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
이동: 둘러보기, 검색

위상수학에서, 어떤 위상 공간의 부분집합 S폐포(閉包, 영어: closure)는 S를 포함하는 가장 작은 닫힌 집합으로, 부분집합 S 내의 모든 점과 S극한점으로 이루어져 있다.

정의[원본 편집]

위상 공간 와 그 부분집합 가 주어졌을 때, 점 의 모든 근방와 비어 있지 않은 교집합을 갖는다면, 폐포점(閉包點, 영어: point of closure)이라 한다.

폐포점은 극한점과 비슷하지만, 에 포함되어 있어도 된다는 점에서 다르다. 극한점이 아닌 폐포점은 고립점이 된다.

위상 공간 와 그 부분집합 가 주어졌을 때, 폐포의 모든 폐포점의 집합이며, 또는 라 표기한다.

만약 에 대해 하나 이상의 위상이 있으면 (예를 들어, ) 이들 서로 다른 위상은 서로 다른 폐포를 생겨나게 한다. 이를 나타내기 위해 아래 첨자를 덧붙여 처럼 쓸 수도 있다. 만약 그 위상이 어떤 다른 구조에 의해 정의된 것이라면, 예를 들어 거리(metric) 같은 것에 의해 정의되었다면, 대신에 첨자로 써도 된다.

성질[원본 편집]

다음 설명에서 ‘닫혀 있다’는 것은 전부 공간 에 대해 닫혀 있다는 것을 뜻한다.

  • 를 포함하는 닫힌 집합이다.
  • 를 포함하는 모든 닫힌 집합의 교집합이다. 즉, 를 포함하는 가장 작은 닫힌 집합이다.
  • 가 닫혀 있다는 것은 동치이다.
  • 이면 이다.
  • 가 닫혀 있다면, 는 동치이다.

폐포와 집합 연산[원본 편집]

폐포와 집합 연산(합집합교집합)사이에는 다음과 같은 관계가 있다.

보다 일반적으로, 다음이 성립한다.

유한한 경우와는 달리 여기서 첫 번째 식은 등식이 되지 않는데, 등식이 성립한다는 것은 닫힌 집합인 것과 동치이다. 등식이 성립하지 않는 예로 1차원 유클리드 공간 상에서 n이 자연수 집합일 때 이 있다.

같이 보기[원본 편집]