폐포 (위상수학)

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위상수학에서, 어떤 위상공간의 부분집합 S폐포(閉包, 영어: closure)는 S를 포함하는 가장 작은 닫힌 집합이다.

정의[편집]

위상공간 X와 그 부분집합 S가 주어졌을 때, 점 x \in X의 모든 근방S와 비어 있지 않은 교집합을 갖는다면, xS폐포점(閉包點, 영어: point of closure)이라 한다.

폐포점은 극한점과 비슷하지만, S에 포함되어 있어도 된다는 점에서 다르다. 극한점이 아닌 폐포점은 고립점이 된다.

위상공간 X와 그 부분집합 S가 주어졌을 때, S폐포S의 모든 폐포점의 집합이며, \operatorname{cl}(S) 또는 \overline S라 표기한다.

만약 X에 대해 하나 이상의 위상이 있으면 (예를 들어, \mathfrak{T}\mathfrak{T}') 이들 서로 다른 위상은 서로 다른 닫힘을 생겨나게 한다. 이를 나타내기 위해 아래 첨자를 덧붙여 \operatorname{cl}_{\mathfrak{T}}(S) 처럼 쓸 수도 있다. 만약 그 위상이 어떤 다른 구조에 의해 정의된 것이라면, 예를 들어 거리(metric) d 같은 것에 의해 정의되었다면, d\mathfrak{T} 대신에 첨자로 써도 된다.

성질[편집]

다음 설명에서 ‘닫혀 있다’는 것은 전부 공간 X에 대해 닫혀 있다는 것을 뜻한다.

  • \operatorname{cl} SS를 포함하는 닫힌 집합이다.
  • \operatorname{cl} SS를 포함하는 모든 닫힌 집합의 교집합이다. 즉, S를 포함하는 가장 작은 닫힌 집합이다.
  • S가 닫혀 있다는 것은 \operatorname{cl} S = S동치이다.
  • S \subset T이면 \operatorname{cl} S \subset \operatorname{cl} T이다.
  • A가 닫혀 있다면, S \subset A\operatorname{cl} S \subset A는 동치이다.

닫힘과 집합연산[편집]

닫힘과 집합연산(합집합교집합)사이에는 다음과 같은 관계가 있다.

  • \operatorname{cl}(A \cup B)= \operatorname{cl}(A) \cup \operatorname{cl}(B)
  • \operatorname{cl}(A \cap B) \subseteq \operatorname{cl}(A) \cap \operatorname{cl}(B)

보다 일반적으로, 다음이 성립한다.

  • \bigcup_{a\in I} \operatorname{cl}(A_a) \subseteq \operatorname{cl}\bigcup_{a\in I} A_a
  • \operatorname{cl}\left(\bigcap_{a\in I} A_a\right) \subseteq \bigcap_{a\in I} \operatorname{cl}(A_a)

유한한 경우와는 달리 여기서 첫 번째 식은 등식이 되지 않는데, 등식이 성립한다는 것은 \cup_{a\in I} \operatorname{cl}(A_a)닫힌 집합인 것과 동치이다. 등식이 성립하지 않는 예로 1차원 유클리드 공간 상에서 n이 자연수 집합일 때 A_n = \left[ 0, \frac{n-1}{n} \right]이 있다.

같이 보기[편집]