폐포 (위상수학)

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위상수학에서, 폐포(閉包, 영어: closure)는 주어진 위상 공간부분 집합을 포함하는 가장 작은 닫힌집합이다.[1] 이는 그 부분 집합의 원소와 극한점으로 구성된다.[1] 의 폐포는 또는 와 같이 표기한다. 서로 다른 위상 공간의 부분 집합으로서의 폐포를 구분하기 위해 또는 또는 와 같이 쓸 수도 있다. 위상이 거리 함수 로 유도되었을 경우 또는 와 같이 써도 좋다.

정의[편집]

위상 공간 의 부분 집합 이 주어졌다고 하자. 점 이 다음 조건을 만족시킨다면, 폐포점(閉包點, 영어: point of closure)이라고 한다.

  • 의 모든 근방 에 대하여, 이다.

만약 국소 기저 가 주어졌을 경우, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • 의 폐포점이다.
  • 모든 에 대하여, 이다.

특히, 폐포점의 정의에서 ‘근방’을 ‘열린 근방’으로 대체할 수 있다.

위상 공간 의 부분 집합 폐포 의 모든 폐포점들의 집합이다.

성질[편집]

극한점과의 관계[편집]

위상 공간 의 부분 집합 및 점 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • 의 폐포점이다.
  • 이거나, 극한점이다.

즉, 의 폐포는 와 그 유도 집합의 합집합이다.

닫힌집합과의 관계[편집]

위상 공간 의 부분 집합 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

  • 닫힌집합이다.

반대로, 의 폐포는 를 포함하는 모든 닫힌집합들의 교집합이다. 즉, 이는 를 포함하는 가장 작은 닫힌집합이다.

내부·경계와의 관계[편집]

위상 공간 의 부분 집합 및 점 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • 의 폐포점이다.
  • 내부점이거나 경계점이다.
  • 의 여집합 내부점이 아니다.

즉, 의 폐포는 의 여집합의 내부의 여집합이며, 또한 내부경계분리 합집합이다.

반대로, 경계와 그 여집합의 폐포의 교집합이다.

항등식[편집]

위상 공간 의 부분 집합 및 집합족 에 대하여, 다음 항등식들이 성립한다.

즉, 폐포는 유한 합집합을 보존하지만, 무한 합집합이나 교집합을 보존하지 않는다.

반례:

표준적인 위상을 갖춘 실수선 위에서 다음과 같은 집합들을 생각하자.

그렇다면, 의 합집합 의 폐포 의 폐포 의 합집합 을 진부분 집합으로 포함한다. 또한, 의 교집합의 폐포는 공집합이며, 이는 의 폐포 의 폐포 의 교집합 의 진부분 집합이다.

[편집]

이산 공간[편집]

이산 공간의 부분 집합의 폐포는 항상 자기 자신이다.

비이산 공간[편집]

비이산 공간공집합이 아닌 부분 집합의 폐포는 전체 공간이다.

열린 공[편집]

(표준적인 위상을 갖춘) 유클리드 공간 위의 열린 공

의 폐포는 닫힌 공

이다. 그러나 이는 일반적인 거리 공간 위에서 성립하지 않는다.

반례:

다음과 같은 이산 거리 함수를 갖춘 거리 공간 을 생각하자.

이 경우 중심 , 반지름 1의 열린 공닫힌 공은 다음과 같다.

거리 공간은 (거리 위상에 대하여) 이산 공간을 이루므로, 모든 부분 집합의 폐포는 자기 자신이다. 특히 위 열린 공의 폐포는 자기 자신 이며, 만약 일 경우 이는 위 닫힌 공과 일치하지 않는다.

균등 공간[편집]

임의의 집합 에 대하여, 위의 대칭 관계들의 집합을

로 표기하자. 위의 이항 관계 에 대한 부분 집합

로 표기하자.

(균등 위상을 갖춘) 균등 공간 의 부분 집합 의 폐포는 다음과 같다.[2]:104, Corollary 8.10

증명:

임의의 측근 에 대하여, 대칭 측근 이 존재한다 (예를 들어 을 취할 수 있다). 따라서, 임의의 에 대하여,

국소 기저를 이룬다. 따라서, 다음이 성립한다.

각주[편집]

  1. Munkres, James R. (2000). 《Topology》 (영어) 2판. Prentice Hall. ISBN 978-0-13-181629-9. MR 0464128. Zbl 0951.54001. 
  2. James, I. M. (1987). 《Topological and Uniform Spaces》. Undergraduate Texts in Mathematics (영어). New York, NY: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-4716-6. ISBN 978-1-4612-9128-2. ISSN 0172-6056. Zbl 0625.54001. 

외부 링크[편집]