합집합

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집합 AB의 합집합 AB. AB를 각각 두 원으로 나타낼 때, AB는 두 원을 합쳐 만든 큰 모양이다.

집합론에서 둘 또는 더 많은 집합합집합(合集合, 영어: union)은 그들의 모든 원소를 한 군데 합쳐놓은 집합이다. 즉, 그들 중 하나에라도 속하는 원소들을 모두 모은 집합이다.

두 집합의 합집합[편집]

AB
ABC

두 집합 A, B의 합집합 AB는, A에 속하거나 B에 속하는 원소들로 이루어진 집합이다. 즉

A\cup B = \{x : x\in A\, \vee\, x\in B\}

여기서 '∨'는 '또는'을 뜻한다. 다른 말로,

xAB에 속할 필요충분조건은 "xA 또는 xB"

다음은 두 집합의 합집합의 예이다.

  • 두 집합 {ㄱ, ㄴ, ㄷ}, {ㄴ, ㄹ}의 합집합은 {ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ}이다.
  • 소수의 집합 {2, 3, 5, 7, ...}과 합성수의 집합 {4, 6, 8, ...}의 합집합은, 1이 아닌 양의 정수의 집합 {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...}이다.

성질[편집]

유한집합의 합집합과 두 집합의 원소 개수 간에는 다음과 같은 관계가 있다(포함배제의 원리).

n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)

합집합 연산의 대수적 성질은 집합대수 문서에 자세히 기술되어 있다.

합집합 연산은 공집합이라는 항등원을 가진다. 즉, A ∪ ∅ = A는 항상 성립한다.

합집합은 이항연산으로서 결합법칙교환법칙을 만족한다. 이를테면 (AB) ∪ (CD)와 (C ∪ (BD)) ∪ A는 같은 집합이며, 이들을 간단히 ABCD라 표기해도 혼동의 여지가 없다. 임의의 유한 개의 집합의 합집합은, 이들 중 적어도 하나에 속하는 원소들로 이루어진 집합이다. 예를 들어,

A\cup B\cup C = \{x : x\in A\, \vee\, x\in B\, \vee\, x\in C\}

가산 개의 집합의 합집합[편집]

무한히 많은 집합들이 다음과 같이 일렬로 나열 가능하다면,[1]

A,\ B,\ C,\ D,\ \ldots

이들에게 자연수 번호를 다음과 같이 줄 수 있다.

A_1,\ A_2,\ A_3,\ A_4,\ \ldots

이때 이들 집합의 합집합은, 이들 중 적어도 하나에 속하는 대상들을 모아놓은 집합이며, 다음과 같이 표기할 수 있다.

\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i \; = \; \bigcup_{i\in\N} A_i \; = \; A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup \cdots \; := \; \{x : \exists i \in \N,\ x \in A_i\}

임의의 첨수족의 합집합[편집]

전체 자연수(1, 2, 3, ...)를 번호(첨수)로 주는 건 과분하거나(유한 개의 집합), 적당하거나(가산 개의 집합), 불충분(비가산 개의 집합)할 수 있다. 알맞은 첨수 iI를 부여받은 집합 Ai들의 합집합은, 적어도 한 집합의 원소인 대상들의 집합이며, 다음과 같이 표기할 수 있다.

\bigcup_{i\in I} A_i \; := \; \{x : \exists i\in I,\ x\in A_i\}

임의의 합집합[편집]

소위 집합의 집합에게도 합집합 연산을 정의할 수 있다. 집합족 \scriptstyle\mathcal{M}의 합집합은 그에 속하는 집합들의 모든 원소를 한 군데 합쳐놓은 집합이다. 즉,

\bigcup\mathcal{M} \; = \; \bigcup_{A\in\mathcal{M}} A  \; := \; \{x : \exists A \in \mathcal{M},\ x \in A\}

이는 가장 일반적인 합집합이며, 앞서 서술한 모든 정의를 포괄한다. 예를 들어 AB는 집합족 {A, B}의 합집합, \scriptstyle{\bigcup_{i\in I} A_i}는 첨수족 {Ai : iI}의 합집합이다.

공리적 집합론에서는, 임의의 집합족 \scriptstyle\mathcal{M}의 합집합이 집합으로서 존재함을 합집합 공리가 보장한다.

각주[편집]

  1. 그럴 수 없을만큼 많은 집합도 존재한다.