다가 함수

수학에서 다가 함수(多價函數, 영어: multivalued function)는 함수 y=f(x)의 y값과 변수 x값의 이항관계에 대해 y값이 변수 x값에 두개 이상 대응하는 형태를 말한다.

본래 명확히 정의된 함수는 y = f(x)에서 y값이 변수 x의 값에 단 한개만 대응하며 특별한 제한이 없는 함수를 말한다. 이런 점에서 엄격하게 다가함수는 함수로 취급하기에 적절하지 않다.

다가함수는 단사함수가 아닌 함수의 역함수를 유도할 때 발생한다. 역함수를 가지고 있지 않는 함수는 역함수 관계는 만족한다. 다가함수는 역함수 관계를 만족시기 적절하며 함수로 취급하면 편리한 경우가 많으므로 통상 '함수'라는 표현을 사용한다.

다가함수의 예

• $0<x$를 만족하는 $x\in \mathbb {R}$에 대해 $x$의 제곱근은 $\pm {\sqrt {x}}$로 2개를 가진다.
• $x\neq 0$을 만족하는 $x\in \mathbb {C}$에 대해 일반적으로 n제곱근은 n개의 근을 가진다.
• 복소수 로그함수는 다수의 값을 가진다. 실수 $a$, $b$에 대해 $\log {(a+bi)}$는 모든 정수 $n$에 대해 $\log {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}+i\arg {(a+bi)}+2\pi ni$의 값을 가진다.
• 삼각함수는 주기적인 성질을 가지고 있기 때문에 역삼각함수도 다수의 값을 가진다.
• 부정적분도 다가함수로 여겨질 수 있다.

예로 든 다가함수들은 모두 단사함수가 아닌 함수로부터 유도된 것이다.

응용

다가함수는 최적제어론(optimal control theory)나 Differential inclusion 그리고 게임 이론등에 사용된다.

물리학에서 다가함수는 갈수록 중요해 지고 있는 법칙에 관여하고 있다. 다가함수는 폴 디랙(Paul Dirac)의 자기 홀극(Magnetic monopole), 결정 결함 이론(Crystallographic defect), 물질의 소성(plasticity) 작용, 상전이(phase transitions) 등의 수학적 문제에 쓰인다.

역사

다가함수는 역사적으로 가장 오래된 특수 함수일 것이다. 다가함수의 꽤 완전한 이론적 정리는 Claude Berge의 저서 Topological spaces (1963)에 처음으로 등장했다.

주치

주치(主値,principal branch)는 다가 함수의 변수 x의 하나의 값에 대한 y의 값이 무수히 많은 경우에 일정 구간을 정하여 제약을 가하고 그 구간에서의 y 값을 이르는 말이다.

같이 보기

• 전단사 함수
• 전사 함수
• 단사 사상

외부 링크

• A. Geletu, Introduction to Topological Spaces and Set-Valued Maps (Lecture notes) (영어), Ilmenau University of Technology, 2006