부정적분

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함수 ƒ(x) = (x3/3) - (x2/2) - x + c기울기장(slope field). 적분 상수 C를 바꾸어서 얻는 무한히 많은 해 중 셋을 보여주고 있다.

미적분학에서 함수역도함수(逆導函數, 영어: antiderivative), 또는 원함수(原函數), 원시함수(原始函數, 영어: primitive function)는 그 함수를 도함수로 하는 함수이다. 부정적분(不定積分, 영어: indefinite integral)은 모든 역도함수를 구하는 연산이다.

즉, 정하여지지않은 원시함수를 구하는 연산이다.

함수 f(x)F(x)미분이면, F(x)f(x)의 역도함수이다. 하지만 유일한 역도함수는 아니며, 이에 임의의 상수를 더한 것이 곧 전체 역도함수이다. 이를 다음과 같이 표기한다.

이로써 부정적분을 미분의 역연산이라 하기도 한다.

부정적분과 정적분 사이의 관계는 미적분학의 기본정리를 통해 맺어진다. 이 정리에 의하면, 어떤 구간을 따라서 어떤 함수의 정적분을 계산한 값은 그 함수의 부정적분에 구간의 양 끝 값을 대입한 값의 차와 같게 된다.

일반 형태[편집]

함수 f(x)의 부정적분은, 역도함수 하나(F(x))를 취하여 임의의 상수(C, 적분상수라 한다)를 더한 것과 같다. 이를 기호를 사용해 표기하면 다음과 같다.

임의의 상수 C에 대하여, F(x) + Cf(x)의 역도함수임은 명백하다. 미분의 선형성상수함수의 미분은 0임에 따라 (F(x) + C)' = F'(x) + (C)' = f(x)이기 때문이다. 기하학적으로는 상수차가 나는 함수들의 그래프는 기울기가 같으므로 도함수가 같다는 것으로 설명할 수 있다. 반대로, f(x)의 역도함수가 모두 F(x) + C 꼴이라는 사실은 평균값 정리로 증명할 수 있다.

미분과의 관계[편집]

상수차를 허용한다면 부정적분은 미분의 역연산이라고 할 수 있다. 아래는 이를 식으로 표현한 것이다. 첫번째 식은 f의 부정적분, 두번째 식은 f의 도함수가 존재할 때에만 의미가 있다.

미분의 실례로부터 부정적분의 실례를 얻을 수 있다. 예를 들어 의 미분은이므로 다음이 성립한다.

그리고의 미분은이므로

이것은 다음과 같다.

이것은 다음과 같다.

실제로 미분은 부정적분의 용이한 검증 수단이나, 일반적인 경우의 해법이 되지는 못한다. 부정적분은 미분의 역과정으로서 그 성질은 미분과 밀접한 연관이 있다. 부정적분의 선형성, 치환적분, 부분적분은 각각 미분의 선형성, 연쇄 법칙, 곱규칙에 대응한다.

정적분과의 관계[편집]

부정적분은 정적분의 계산에 쓰일 수 있다는 점에서 가치가 있다. 미적분학의 기본정리에 의해, 연속함수 f와 그의 역도함수 F 에 대해, 다음이 성립한다.

반대로 임의의 연속함수 f의 여럿 중 하나의 역도함수는, 다음과 같이 f의 정적분에서 상한을 변수로 취해 얻는 함수로 주어진다.

이는 미적분학의 기본정리의 또 다른 형식이다.

선형성[편집]

부정적분은 선형 연산에 의해 그 존재성이 닫혀있으며, 선형성을 만족한다. 바꿔 말해, 부정적분이 존재하는 함수를 상수배하거나 서로 더하여 얻는 함수는 같은 구간에서 여전히 부정적분이 존재하며, 합의 부정적분은 부정적분의 합, 상수배의 부정적분은 부정적분의 상수배이다.

[1]

부정적분을 이미 아는 함수들의 선형결합으로 주어지는 함수의 부정적분은 선형성을 통해 구할 수 있다.

초등 함수 표현[편집]

x3, cos2x 등 함수의 부정적분은 초등함수이다, 바꿔 말해, , 지수, 로그, ()삼각 함수의 유한 번의 사칙연산합성 연산으로 나타낼 수 있다. 초등함수의 부정적분은 초등함수가 아닐 수 있다. 이러한 예로 다음이 있다.

이들은 각각 오차 함수, 프레넬 함수, 삼각 적분 함수, 로그 적분 함수이다.

리우빌의 정리는 함수의 부정적분이 초등함수일 조건을 제시한다.

기법[편집]

부정적분은 미분에 비해 덜 직관적이고 복잡한 편이다. 부정적분의 여러가지 기법은 부정적분을 가능하게 또는 더 단순하게 만든다.

같이 보기[편집]

각주[편집]

  1. c = 0일 때에는 식의 우변에 사라진 적분상수를 더해야 한다.