부정적분

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함수 ƒ(x) = (x3/3) - (x2/2) - x + c기울기장(slope field). 적분 상수 C를 바꾸어서 얻는 무한히 많은 해 중 셋을 보여주고 있다.

미적분학에서 함수역도함수(逆導函數, 영어: antiderivative), 또는 원함수(原函數), 원시함수(原始函數, 영어: primitive function)는 그 함수를 도함수로 하는 함수이다. 부정적분(不定積分, 영어: indefinite integral)은 (모든) 역도함수를 구하는 연산이다. 함수 f(x)F(x)미분이면, F(x)f(x)의 역도함수이다. 하지만 유일한 역도함수는 아니며, 이에 임의의 상수를 더한 것이 곧 전체 역도함수이다. 이를 다음과 같이 표기한다.

\int f(x)dx = F(x) + C

이로써 부정적분을 미분의 역연산이라 하기도 한다.

부정적분과 정적분 사이의 관계는 미적분학의 기본정리를 통해 맺어진다. 이 정리에 의하면, 어떤 구간을 따라서 어떤 함수의 정적분을 계산한 값은 그 함수의 부정적분에 구간의 양 끝 값을 대입한 값의 차와 같게 된다.

일반 형태[편집]

함수 f(x)의 부정적분은, 역도함수 하나(F(x))를 취하여 임의의 상수(C, 적분상수라 한다)를 더한 것과 같다. 이를 기호를 사용해 표기하면 다음과 같다.

\int f(x) \,dx = F(x) + C

임의의 상수 C에 대하여, F(x) + Cf(x)의 역도함수임은 명백하다. 미분의 선형성상수함수의 미분은 0임에 따라 (F(x) + C)' = F'(x) + (C)' = f(x)이기 때문이다. 기하학적으로는 상수차가 나는 함수들의 그래프는 기울기가 같으므로 도함수가 같다는 것으로 설명할 수 있다. 반대로, f(x)의 역도함수가 모두 F(x) + C 꼴이라는 사실은 평균값 정리로 증명할 수 있다.

미분과의 관계[편집]

상수차를 허용한다면 부정적분은 미분의 역연산이라고 할 수 있다. 아래는 이를 식으로 표현한 것이다. 첫번째 식은 f의 부정적분, 두번째 식은 f의 도함수가 존재할 때에만 의미가 있다.

\left(\int f(x)\,dx\right)'=f(x),\quad\int f'(x)\,dx=f(x)+C

미분의 실례로부터 부정적분의 실례를 얻을 수 있다. 예를 들어 f(x) = x의 미분은 f'(x) = 1이므로 다음이 성립한다.

\int dx = x +C

실제로 미분은 부정적분의 용이한 검증 수단이나, 일반적인 경우의 해법이 되지는 못한다. 부정적분은 미분의 역과정으로서 그 성질은 미분과 밀접한 연관이 있다. 부정적분의 선형성, 치환적분, 부분적분은 각각 미분의 선형성, 연쇄 법칙, 곱셈 법칙에 대응한다.

정적분과의 관계[편집]

부정적분은 미적분학의 기본정리를 이용하여 정적분을 계산할 때 매우 유용하다. 즉,

\int_{a}^{b}f(x)dx = F(b)-F(a)

이런 계산결과의 관계 덕분에 역도함수는 구간이 정해지지 않은 적분이므로 정적분(indefinite integral) 이라는 용어를 쓰게 된다. 즉, 구간을 정하지 않은 다음과 같은 기호로 표시하게 된다.

\int f(x)dx

모든 상수는 미분하면 사라진다. 그러므로 주어진 함수의 역도함수는 어떤 상수항도 취할 수 있게 된다. 따라서 역도함수의 마지막에 임의의 상수가 온다는 의미로 임의의 적분상수 C를 붙여준다

선형성[편집]

부정적분은 선형 연산에 의해 그 존재성이 닫혀있으며, 선형성을 만족한다. 바꿔 말해, 부정적분이 존재하는 함수를 상수배하거나 서로 더하여 얻는 함수는 같은 구간에서 여전히 부정적분이 존재하며, 합의 부정적분은 부정적분의 합, 상수배의 부정적분은 부정적분의 상수배이다.

\int [f(x) + g(x)] \, dx = \int f(x) \, dx + \int g(x) \, dx
\int cf(x) \, dx = c \int f(x) \, dx[1]

부정적분을 이미 아는 함수들의 선형결합으로 주어지는 함수의 부정적분은 선형성을 통해 구할 수 있다.

초등 함수 표현[편집]

x3, cos2x 등 함수의 부정적분은 초등함수이다, 바꿔 말해, , 지수, 로그, ()삼각 함수의 유한 번의 사칙연산합성 연산으로 나타낼 수 있다. 초등함수의 부정적분은 초등함수가 아닐 수 있다. 이러한 예로 다음이 있다.

\int e^{-x^2}\,dx, \qquad \int \sin(x^2)\,dx, \qquad \int \frac{\sin(x)}{x}\,dx, \qquad \int\frac{1}{\ln x}\,dx, \qquad \int x^{x}\,dx

이들은 각각 오차 함수, 프레넬 함수, 삼각 적분 함수, 로그 적분 함수이다.

리우빌의 정리는 함수의 부정적분이 초등함수일 조건을 제시한다.

기법[편집]

부정적분은 미분에 비해 덜 직관적이고 복잡한 편이다. 부정적분의 여러가지 기법은 부정적분을 가능하게 또는 더 단순하게 만든다.

같이 보기[편집]

각주[편집]

  1. c = 0일 때에는 식의 우변에 사라진 적분상수를 더해야 한다.