부정적분

함수 ƒ(x) = (x³/3)-(x²/2)-x+c의 기울기장(slope field)의 그림. 적분 상수 C를 바꾸어서 무한히 많은 해 중에 세 개의 해를 보여주고 있다.

미적분학에서 함수 $f$의 부정적분(indefinite integral) 또는 역도함수(antiderivative)는 미분을 하여 $f$가 되는 함수 $F$를 가리킨다. 부정적분은 미적분학의 기본정리(fundamental theorem of calculus)를 통해 정적분(definite integrals)과 연결된다. 즉, 어떤 구간을 따라서 어떤 함수의 정적분을 계산한 값은 그 함수의 부정적분에 구간의 양 끝 값을 대입한 값의 차와 같게 된다.

규칙과 공식

좀 더 다양한 공식은 적분표 문서를 참고하십시오.

부정적분은 미분의 역과정을 수행하면 된다. 기호 $\textstyle \int$ 은 이러한 연산을 가리키는 연산자가 된다.

$\int f(x) \,dx = F(x) + C$

이때,

$F'\!(x) =\frac {d}{dx} F(x) = f(x).$

가 된다. 여기서 $C$는 적분상수(Constant of integration)가 된다.

부정적분은 미분의 역과정이므로 미분 공식과 밀접한 연관이 있다. 유용한 공식으로는 다음과 같은 것들이 있다.

• 일반 공식

$\int dx = x +C$

• 상수배한 함수의 부정적분은 부정적분한 함수의 상수배와 같다.

$\int af(x) \,dx = a \int f(x)\, dx$

• 같은 구간에 정의된 두 함수의 합을 부정적분한 것은 각각 부정적분 한 함수의 합과 같다.

$\int [f(x) + g(x)] \,dx = \int f(x) \,dx + \int g(x)\, dx$

• $n$이 실수일 때 단항식은 다음과 같이 적분된다.

$\int x^n\, dx = \begin{cases} \frac {x^{n+1}}{n+1} + C, & \text{if }n \ne -1 \\ \ln |x| + C, & \text{if }n = -1 \end{cases}$

성질

부정적분은 미적분학의 기본정리(fundamental theorem of calculus)를 이용하여 정적분(definite integral)을 계산할 때 매우 유용하다. 즉,

$\int_{a}^{b}f(x)dx = F(b)-F(a)$

이런 계산결과의 관계 덕분에 역도함수는 구간이 정해지지 않은 적분이므로 부정적분(indefinite integral) 이라는 용어를 쓰게 된다. 즉, 구간을 정하지 않은 다음과 같은 기호로 표시하게 된다.

$\int f(x)dx$

모든 상수는 미분하면 사라진다. 그러므로 주어진 함수의 역도함수는 어떤 상수항도 취할 수 있게 된다. 따라서 역도함수의 마지막에 임의의 상수가 온다는 의미로 임의의 적분상수 $C$를 붙여준다.

초등 함수로 표현할 수 없는 함수

역도함수가 존재하지만 그 역도함수를 초등함수(Elementary function)로 표현할 수 없는 함수도 많이 있다. 다음과 같은 예가 있다.

$\int e^{-x^2}\,dx,\qquad \int \frac{\sin(x)}{x}\,dx,\qquad \int\frac{1}{\ln x}\,dx,\qquad \int x^{x}\,dx.$