부정적분

함수 ƒ(x) = (x³/3) - (x²/2) - x + c의 기울기장(slope field). 적분 상수 C를 바꾸어서 얻는 무한히 많은 해 중 셋을 보여주고 있다.

연속 기획
미적분학
미적분학의 기본정리 함수의 극한 연속함수 평균값 정리 롤의 정리
미분 정의 미분 (일반화) 미분계수 무한소 함수의 미분 전미분 개념 미분 표기법 2차 도함수 3차 도함수 변수 변환 음함수의 미분 합성함수의 미분 테일러 정리 법칙과 정리 합의 법칙 곱의 법칙 연쇄 법칙 다항식의 미분 분수함수의 미분 일반화된 라이프니츠 법칙 파 디 부르노 방정식
적분 적분표 정의 부정적분 적분 (이상적분) 리만 적분 르베그 적분 경로적분 적분법 부분적분 디스크 방법 원통셸 방법 치환적분 (삼각치환법) 부분분수 적분법 적분 순서 재귀식 적분
수열과 급수 기하급수 (등차-등비 수열) 조화급수 교대급수 멱급수 이항급수 테일러 급수 수렴판정법 일반항 판정법 비판정법 근판정법 적분판정법 비교판정법 극한비교판정법 교대급수판정법 코시 응집판정법 디리클레 판정법 아벨 판정법
벡터 미적분학 기울기 발산 회전 라플라시안 방향도함수 벡터 미적분표 정리 발산정리 기울기정리 그린 정리 켈빈-스토크스 정리
다변수 미적분학 형식 행렬 텐서 외미분 기하 정의 편미분 중적분 선적분 면적분 삼중적분 야코비안 헤세 행렬
특수한 경우 분수차 미적분 말리아빈 미적분 확률미적분학 변분법

미적분학에서 함수의 역도함수(逆導函數, 영어: antiderivative), 또는 원함수(原函數), 원시함수(原始函數, 영어: primitive function)는 그 함수를 도함수로 하는 함수이다. 부정적분(不定積分, 영어: indefinite integral)은 모든 역도함수를 구하는 연산이다.

즉, 정하여지지않은 원시함수를 구하는 연산이다.

함수 f(x)가 F(x)의 미분이면, F(x)는 f(x)의 역도함수이다. 하지만 유일한 역도함수는 아니며, 이에 임의의 상수를 더한 것이 곧 전체 역도함수이다. 이를 다음과 같이 표기한다.

$\int f(x)dx=F(x)+C$

이로써 부정적분을 미분의 역연산이라 하기도 한다.

부정적분과 정적분 사이의 관계는 미적분학의 기본정리를 통해 맺어진다. 이 정리에 의하면, 어떤 구간을 따라서 어떤 함수의 정적분을 계산한 값은 그 함수의 부정적분에 구간의 양 끝 값을 대입한 값의 차와 같게 된다.

일반 형태

함수 f(x)의 부정적분은, 역도함수 하나(F(x))를 취하여 임의의 상수(C, 적분상수라 한다)를 더한 것과 같다. 이를 ∫ 기호를 사용해 표기하면 다음과 같다.

$\int f(x)\,dx=F(x)+C$

임의의 상수 C에 대하여, F(x) + C도 f(x)의 역도함수임은 명백하다. 미분의 선형성과 상수함수의 미분은 0임에 따라 (F(x) + C)' = F'(x) + (C)' = f(x)이기 때문이다. 기하학적으로는 상수차가 나는 함수들의 그래프는 기울기가 같으므로 도함수가 같다는 것으로 설명할 수 있다. 반대로, f(x)의 역도함수가 모두 F(x) + C 꼴이라는 사실은 평균값 정리로 증명할 수 있다.

미분과의 관계

상수차를 허용한다면 부정적분은 미분의 역연산이라고 할 수 있다. 아래는 이를 식으로 표현한 것이다. 첫번째 식은 f의 부정적분, 두번째 식은 f의 도함수가 존재할 때에만 의미가 있다.

$\left(\int f(x)\,dx\right)'=f(x),\quad \int f'(x)\,dx=f(x)+C$

미분의 실례로부터 부정적분의 실례를 얻을 수 있다. 예를 들어 $f(x)=x$의 미분은$f'(x)=1$이므로 다음이 성립한다.

$\int dx=x+C$

그리고$f(x)=C$의 미분은$f'(x)=0$이므로

이것은 다음과 같다.

$\int \;1\;dx=x$

이것은 다음과 같다.

$\int \;1+0\;dx=x+C$

실제로 미분은 부정적분의 용이한 검증 수단이나, 일반적인 경우의 해법이 되지는 못한다. 부정적분은 미분의 역과정으로서 그 성질은 미분과 밀접한 연관이 있다. 부정적분의 선형성, 치환적분, 부분적분은 각각 미분의 선형성, 연쇄 법칙, 곱규칙에 대응한다.

정적분과의 관계

부정적분은 정적분의 계산에 쓰일 수 있다는 점에서 가치가 있다. 미적분학의 기본정리에 의해, 연속함수 f와 그의 역도함수 F 에 대해, 다음이 성립한다.

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)$

반대로 임의의 연속함수 f의 여럿 중 하나의 역도함수는, 다음과 같이 f의 정적분에서 상한을 변수로 취해 얻는 함수로 주어진다.

$\int _{a}^{x}f(x)\,dx$

이는 미적분학의 기본정리의 또 다른 형식이다.

선형성

부정적분은 선형 연산에 의해 그 존재성이 닫혀있으며, 선형성을 만족한다. 바꿔 말해, 부정적분이 존재하는 함수를 상수배하거나 서로 더하여 얻는 함수는 같은 구간에서 여전히 부정적분이 존재하며, 합의 부정적분은 부정적분의 합, 상수배의 부정적분은 부정적분의 상수배이다.

$\int [f(x)+g(x)]\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx$

$\int cf(x)\,dx=c\int f(x)\,dx$

부정적분을 이미 아는 함수들의 선형결합으로 주어지는 함수의 부정적분은 선형성을 통해 구할 수 있다.

초등 함수 표현

리우빌의 정리 (미분대수학), 미분 갈루아 이론 문서를 참고하십시오.

x³, cos²x 등 함수의 부정적분은 초등함수이다, 바꿔 말해, 멱, 지수, 로그, (역)삼각 함수의 유한 번의 사칙연산과 합성 연산으로 나타낼 수 있다. 초등함수의 부정적분은 초등함수가 아닐 수 있다. 이러한 예로 다음이 있다.

$\int e^{-x^{2}}\,dx,\qquad \int \sin(x^{2})\,dx,\qquad \int {\frac {\sin(x)}{x}}\,dx,\qquad \int {\frac {1}{\ln x}}\,dx,\qquad \int x^{x}\,dx$

이들은 각각 오차 함수, 프레넬 함수, 삼각 적분 함수, 로그 적분 함수이다.

리우빌의 정리는 함수의 부정적분이 초등함수일 조건을 제시한다.

기법

좀 더 다양한 공식은 적분표 문서를 참고하십시오.

부정적분은 미분에 비해 덜 직관적이고 복잡한 편이다. 부정적분의 여러가지 기법은 부정적분을 가능하게 또는 더 단순하게 만든다.

• 미분, 선형성
• 치환적분은 때로 삼각항등식 따위와 곁들여 사용된다. 삼각함수나 쌍곡선함수로의 치환은 x² ± a²과 같은 꼴을 포함한 부정적분을 단순화하는 데에 쓰인다. 삼각치환적분, 쌍곡치환적분 참조.
• 역도함수(F)가 존재하는 함수 f에 대해 ∫ f(ax + b) dx = 1/aF(ax + b) + C, 또 미분 가능한 함수 f에 대해 ∫ f'/f dx = ln|f| + C가 성립한다는 결론은 치환적분으로 쉽게 설명된다.
• 부분적분은 함수의 곱에 대한 부정적분을 단순화 할 수 있다.
• 부분분수 분해는 유리 함수의 부정적분의 일반 해법이다. 완전제곱식 만들기, 치환적분, 부분적분 등도 이와 같이 쓰인다.
• 오일러 치환

같이 보기

• 정적분
• 적분표
• 기호적분
• 적분상수