부정적분

$y'=x^{2}-x-1$의 기울기장에 그려진 함수 $f(x)=x^{2}-x-1$의 세 가지 원함수 $\textstyle F(x)={\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{2}}{2}}-x+C$. 적분 상수는 $C=-4,0,4$.

연속 기획
미적분학
미적분학의 기본정리 함수의 극한 연속 함수 평균값 정리 롤의 정리
미분 정의 미분 일반화 무한소 주요 부분 전미분 개념 미분 표기법 고계 도함수 변수 변환 테일러 정리 법칙과 항등식 합의 법칙 곱의 법칙 몫의 법칙 멱의 법칙 연쇄 법칙 역함수의 미분 음함수의 미분
적분 적분표 정의 부정적분 적분 (이상적분) 리만 적분 르베그 적분 경로적분 적분법 부분적분 디스크 방법 원통셸 방법 치환적분 (삼각 치환) 부분분수 적분법 적분 순서 재귀식 적분
수열과 급수 기하급수 (산술-기하 수열) 조화급수 교대급수 멱급수 이항급수 테일러 급수 수렴판정법 일반항 판정법 비판정법 근판정법 적분판정법 비교판정법 극한비교판정법 교대급수판정법 코시 응집판정법 디리클레 판정법 아벨 판정법
벡터 미적분학 기울기 발산 회전 라플라시안 방향도함수 벡터 미적분표 정리 발산정리 기울기정리 그린 정리 켈빈-스토크스 정리
다변수 미적분학 형식 행렬 텐서 외미분 기하 정의 편미분 중적분 선적분 면적분 삼중적분 야코비안 헤세 행렬
특수한 경우 분수차 미적분 말리아빈 미적분 확률미적분학 변분법

미적분학에서, 부정적분(不定積分, 영어: indefinite integral)은 어떤 함수를 도함수로 하는 모든 함수를 구하는 연산이다. 부정적분이 존재할 경우, 이는 항상 고정된 함수와 임의의 상수의 합의 꼴로 나타낼 수 있다. 따라서 상수만큼의 차를 무시하면 부정적분은 미분 또는 도함수를 구하는 연산의 역연산이다.

정의

함수 $f(x)$ ($x\in I$)가 주어졌을 때, 만약 다음 조건을 만족시키는 함수 $F(x)$ ($x\in I$)가 존재한다면, 이를 $f(x)$의 원함수(原函數, 영어: antiderivative) 또는 역도함수(逆導函數)라고 한다.

$F'(x)=f(x)\qquad \forall x\in I$

함수 $f(x)$ ($x\in I$)의 한 원함수 $F(x)$가 존재할 경우, $f(x)$의 모든 원함수는 정확히 다음과 같다.

$\int f(x)\mathrm {d} x=F(x)+C$

이를 $f(x)$의 부정적분이라고 한다. 여기서 $C$는 임의의 상수이며, 이를 적분 상수라고 부른다. 부정적분이 항상 위와 같은 꼴임은 다음과 같이 증명할 수 있다. 우선 임의의 상수 $C$에 대하여, $(C)'=0$이므로, $(F(x)+C)'=f(x)$이다. 즉, $F(x)+C$는 $f(x)$의 원함수이다. 또한 임의의 원함수 $G(x)$에 대하여, $(G(x)-F(x))'=0$이므로, 평균값 정리에 따라 $G(x)-F(x)$는 상수 함수이다. 따라서 $G(x)$는 $G(x)=F(x)+C$ 꼴로 나타낼 수 있다.

위와 같은 꼴의 부정적분 공식은 정의역을 이루는 각각의 구간에서만 유효하다. 예를 들어, $f(x)=1/x^{2}$에 대한 다음과 같은 부정적분 공식이 성립하려면 두 구간 $(0,\infty )$ 및 $(-\infty ,0)$ 가운데 하나를 선택하여야 한다.^:398-399

$\int {\frac {1}{x^{2}}}\mathrm {d} x=-{\frac {1}{x}}+C$

전체 정의역 $(-\infty ,0)\cup (0,\infty )$에서의 실제 부정적분은 다음과 같다.^:398-399

$\int {\frac {1}{x^{2}}}\mathrm {d} x={\begin{cases}\displaystyle -{\frac {1}{x}}+C&x>0\\\displaystyle -{\frac {1}{x}}+C'&x<0\end{cases}}$

성질

미분과의 관계

만약 $f(x)$의 부정적분이 존재한다면 다음이 성립한다.

$\left(\int f(x)\mathrm {d} x\right)'=f(x)$

만약 $F(x)$가 미분 가능 함수라면 다음이 성립한다.

$\int F'(x)\mathrm {d} x=F(x)+C$

이에 따라 상수 차를 무시하면 부정적분은 미분의 역연산이다.

미적분학의 기본 정리

이 부분의 본문은 미적분학의 기본 정리입니다.

연속 함수 $f(x)$의 한 원함수는 적분상한을 변수로 취한 정적분으로 나타낼 수 있다.

$F(x)=\int _{a}^{x}f(x)\mathrm {d} x$

반대로, 연속 함수$f(x)$의 한 원함수 $F(x)$가 주어졌을 때, 정적분은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x=F(b)-F(a)$

선형성

함수 $f(x),g(x)$의 부정적분이 존재한다면, $f(x)\pm g(x)$의 부정적분 역시 존재하며, 다음이 성립한다.

$\int f(x)\pm g(x)\mathrm {d} x=\int f(x)\mathrm {d} x\pm \int g(x)\mathrm {d} x$

함수 $f(x)$의 부정적분이 존재한다면, 상수 $c$에 대하여 $cf(x)$의 부정적분 역시 존재하며, $c\neq 0$일 경우 다음이 성립한다.

$\int cf(x)\mathrm {d} x=c\int f(x)\mathrm {d} x$

이에 따라 부정적분은 선형 연산이다.

치환 적분

이 부분의 본문은 치환 적분입니다.

만약 $f(x)$의 한 원함수 $F(x)$가 존재하며, $g(t)$가 미분 가능 함수라면, 다음이 성립한다.^{:246, 정리6.2.1}

$\int f(g(t))g'(t)\mathrm {d} t=\int f(x)\mathrm {d} x=F(g(t))+C$

만약 $g(t)$가 미분 가능 함수이며, $g'(t)\neq 0$가 성립하며, $f(g(t))g'(t)$의 한 원함수 $H(t)$가 존재한다면, 다음이 성립한다.^{:252, 정리6.2.2}

$\int f(x)\mathrm {d} x=\int f(g(t))g'(t)\mathrm {d} t=H(g^{-1}(x))+C$

부분 적분

이 부분의 본문은 부분 적분입니다.

만약 $f(x),g(x)$가 미분 가능 함수이며, $f'(x)g(x)$의 부정적분이 존재한다면, 다음이 성립한다.

$\int f(x)g'(x)\mathrm {d} x=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\mathrm {d} x$

예

유리 함수

모든 (실수) 유리 함수는 다항식과 진분수식의 합으로 나타낼 수 있으며, 모든 진분수식은 부분 분수 분해를 통해 다음과 같은 꼴의 분수식들의 합으로 나타낼 수 있다.

• ${\frac {A}{(x-a)^{m}}}$
• ${\frac {Bx+C}{(x^{2}+px+q)^{n}}}$

여기서 $A,B,C,a,p,q\in \mathbb {R}$은 실수이며 $m,n\in \mathbb {Z} ^{+}$은 양의 정수이다. 또한 $p^{2}-4q<0$을 만족시킨다. 이 두 가지 분수식의 부정적분은 다음과 같이 구할 수 있다.

$\int {\frac {A}{x-a}}\mathrm {d} x=A\ln(x-a)+C$

$\int {\frac {A}{(x-a)^{m}}}\mathrm {d} x=-{\frac {A}{(m-1)(x-a)^{m-1}}}+C\qquad (m>1)$

$\int {\frac {Bx+C}{x^{2}+px+q}}\mathrm {d} x={\frac {B}{2}}\ln(x^{2}+px+q)+{\frac {2C-Bp}{\sqrt {4q-p^{2}}}}\arctan {\frac {2x+p}{\sqrt {4q-p^{2}}}}+C$

$\int {\frac {Bx+C}{(x^{2}+px+q)^{n}}}\mathrm {d} x=-{\frac {B}{2(n-1)(x^{2}+px+q)^{n-1}}}+(C-Bp/2)\int {\frac {1}{(x^{2}+px+q)^{n}}}\mathrm {d} x\qquad (n>1)$

$\int {\frac {1}{(x^{2}+px+q)^{n}}}\mathrm {d} x={\frac {1}{2(n-1)(q-p^{2}/4)}}\left({\frac {x+p/2}{(x^{2}+px+q)^{n-1}}}+(2n-3)\int {\frac {1}{(x^{2}+px+q)^{n-1}}}\mathrm {d} x\right)\qquad (n>1)$

부분 분수 분해의 각 항이 초등 함수이므로, 모든 유리 함수의 부정적분은 초등 함수이다.

삼각 유리 함수

삼각 유리 함수는 $R(\sin x,\cos x)$ 꼴의 함수를 뜻한다. 여기서 $R(u,v)$는 2변수 유리 함수이다. 이에 대한 부정적분에 다음과 같은 치환 적분을 사용하자.

$\tan {\frac {x}{2}}=t,\;x=2\arctan t,\;\mathrm {d} x={\frac {2}{1+t^{2}}}\mathrm {d} t$

그러면 원래의 부정적분은 유리 함수의 부정적분으로 변한다.

$\int R(\sin x,\cos x)\mathrm {d} x=\int R\left({\frac {2t}{1+t^{2}}},{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\right){\frac {2}{1+t^{2}}}\mathrm {d} t$

만약 $R(-u,v)=-R(u,v)$라면, 이는 항상 $R(u,v)=uR_{1}(u^{2},v)$ 꼴로 나타낼 수 있다. 따라서 이 경우 다음과 같은 더 간편한 기법을 사용할 수 있다.

$\int R(\sin x,\cos x)\mathrm {d} x=\int \sin xR_{1}(\sin ^{2}x,\cos x)\mathrm {d} x=-\int R_{1}(1-t^{2},t)\mathrm {d} t\qquad (\cos x=t)$

마찬가지로, 만약 $R(u,-v)=-R(u,v)$라면, 이는 $R(u,v)=vR_{1}(u,v^{2})$ 꼴이므로, 이 경우 보통 다음과 같은 기법이 더 간편하다.

$\int R(\sin x,\cos x)\mathrm {d} x=\int \cos xR_{1}(\sin x,\cos ^{2}x)\mathrm {d} x=\int R_{1}(t,1-t^{2})\mathrm {d} t\qquad (\sin x=t)$

만약 $R(-u,-v)=R(u,v)$라면, $R(u,v)=R_{1}(u/v,v^{2})$ 꼴이므로, 이 경우 보통 다음과 같은 기법이 더 간편하다.

$\int R(\sin x,\cos x)\mathrm {d} x=\int R_{1}(\tan x,\cos ^{2}x)\mathrm {d} x=\int R_{1}\left(t,{\frac {1}{1+t^{2}}}\right){\frac {1}{1+t^{2}}}\mathrm {d} t\qquad (\tan x=t)$

사실 모든 유리 함수는 위와 같은 세 유리 함수의 합으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$R(u,v)={\frac {R(u,v)-R(-u,v)}{2}}+{\frac {R(-u,v)-R(-u,-v)}{2}}+{\frac {R(-u,-v)+R(u,v)}{2}}$

무리 함수

무리 함수의 부정적분은 초등 함수가 아닐 수 있다. 그러나 다음과 같은 꼴의 부정적분은 초등함수이다.

$R\left(x,{\sqrt[{n}]{\frac {ax+b}{cx+d}}}\right)$

여기서 $R(u,v)$는 2변수 유리 함수이며, $m\in \mathbb {Z} ^{+}$는 양의 정수이며, $a,b,c,d\in \mathbb {R}$는 실수이다. 또한 $ad-bc\neq 0$을 만족시킨다. 다음과 같은 치환 적분을 사용하자.

${\sqrt[{n}]{\frac {ax+b}{cx+d}}}=t,\;x={\frac {dt^{n}-b}{a-ct^{n}}},\;\mathrm {d} x={\frac {n(ad-bc)t^{n-1}}{(a-ct^{n})^{2}}}\mathrm {d} t$

그러면 원래의 부정적분은 유리 함수의 부정적분으로 변한다.

$\int R\left(x,{\sqrt[{n}]{\frac {ax+b}{cx+d}}}\right)\mathrm {d} x=\int R\left({\frac {dt^{n}-b}{a-ct^{n}}},t\right){\frac {n(ad-bc)t^{n-1}}{(a-ct^{n})^{2}}}\mathrm {d} t$

함수 $(a+bz)^{p}z^{q}$를 생각하자. 여기서 $a,b\in \mathbb {R}$는 실수이며, $p,q\in \mathbb {Q}$는 유리수이다. $p,q,p+q$ 가운데 적어도 하나가 정수일 경우 이 부정적분은 초등 함수가 된다. $p=r/s$이며 $q=r'/s'$라고 하자. 여기서 $r,s,r',s'\in \mathbb {Z}$는 정수이다. 만약 $p\in \mathbb {Z}$일 경우, 함수에 나오는 제곱근식은 ${\sqrt[{s'}]{z}}$뿐이므로, 치환 적분 ${\sqrt[{s'}]{z}}=t$를 통해 구할 수 있다. 만약 $q\in \mathbb {Z}$일 경우, 함수에 나오는 제곱근식은 ${\sqrt[{s}]{a+bz}}$뿐이므로, 역시 치환 적분 ${\sqrt[{s}]{a+bz}}=t$를 통해 구할 수 있다. 만약 $p+q\in \mathbb {Z}$일 경우, 함수를 $((a+bz)/z)^{p}z^{p+q}$와 같이 변형하였을 때 제곱근식은 $\textstyle {\sqrt[{s}]{(a+bz)/z}}$뿐이므로, 치환 적분 $\textstyle {\sqrt[{s}]{(a+bz)/z}}=t$를 통해 구할 수 있다.

보다 일반적으로, 함수 $x^{m}(a+bx^{n})^{p}$를 생각하자. 여기서 $a,b\in \mathbb {R}$는 실수이며, $m,n,p\in \mathbb {Q}$는 유리수이다. 다음과 같은 치환 적분을 사용하자.

$x^{n}=z,\;x=z^{1/n},\;\mathrm {d} x={\frac {1}{n}}z^{1/n-1}\mathrm {d} z$

그러면 위와 같은 꼴의 함수의 부정적분으로 변한다.

$\int x^{m}(a+bx^{n})^{p}\mathrm {d} x={\frac {1}{n}}\int (a+bz)^{p}z^{(m+1)/n-1}\mathrm {d} z$

따라서 $p,q=(m+1)/n-1,p+q$ 가운데 적어도 하나가 정수일 경우 이 부정적분은 초등 함수이다. 반대로 $p,q,p+q$가 정수가 아닐 경우 이 부정적분은 초등 함수로 나타낼 수 없음을 19세기 중엽에 파프누티 체비쇼프가 증명하였다.

초등 함수로 나타낼 수 없는 부정적분

초등 함수의 부정적분은 초등 함수가 아닐 수 있다. 예를 들어, 다음과 같은 부정적분들은 초등 함수가 아니다.

• (오차 함수) $\int e^{-x^{2}}\mathrm {d} x$
• (프레넬 함수) $\int \sin x^{2}\mathrm {d} x$
• (삼각 적분 함수) $\int {\frac {\sin x}{x}}\mathrm {d} x$
• (로그 적분 함수) $\int {\frac {1}{\ln x}}\mathrm {d} x$
• $\int x^{x}\mathrm {d} x$
• $\int {\frac {1}{\sqrt {1-x^{4}}}}\mathrm {d} x$

같이 보기

• 정적분
• 적분표
• 기호적분
• 적분상수