부정적분

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미적분학
v  d  e  h
함수 ƒ(x) = (x3/3)-(x2/2)-x+c의 기울기장(slope field)의 그림. 적분 상수 C를 바꾸어서 무한히 많은 해 중에 세 개의 해를 보여주고 있다.

미적분학에서 함수 f부정적분(indefinite integral) 또는 역도함수(antiderivative)는 미분을 하여 f가 되는 함수 F를 가리킨다. 부정적분은 미적분학의 기본정리(fundamental theorem of calculus)를 통해 정적분(definite integrals)과 연결된다. 즉, 어떤 구간을 따라서 어떤 함수의 정적분을 계산한 값은 그 함수의 부정적분에 구간의 양 끝 값을 대입한 값의 차와 같게 된다.

규칙과 공식[편집]

부정적분은 미분의 역과정을 수행하면 된다. 기호 \textstyle \int 은 이러한 연산을 가리키는 연산자가 된다.

\int f(x) \,dx = F(x) + C
이때,
F'\!(x) =\frac {d}{dx} F(x) = f(x).

가 된다. 여기서 C적분상수(Constant of integration)가 된다.

부정적분은 미분의 역과정이므로 미분 공식과 밀접한 연관이 있다. 유용한 공식으로는 다음과 같은 것들이 있다.

  • 일반 공식
\int dx = x +C
  • 상수배한 함수의 부정적분은 부정적분한 함수의 상수배와 같다.
\int af(x) \,dx = a \int f(x)\, dx
  • 같은 구간에 정의된 두 함수의 합을 부정적분한 것은 각각 부정적분 한 함수의 합과 같다.
\int [f(x) + g(x)] \,dx = \int f(x) \,dx + \int g(x)\, dx
  • n이 실수일 때 단항식은 다음과 같이 적분된다.

\int x^n\, dx = 
\begin{cases} 
  \frac {x^{n+1}}{n+1} + C, & \text{if }n \ne -1 \\
  \ln |x| + C, & \text{if }n = -1
\end{cases}

성질[편집]

부정적분은 미적분학의 기본정리(fundamental theorem of calculus)를 이용하여 정적분(definite integral)을 계산할 때 매우 유용하다. 즉,

\int_{a}^{b}f(x)dx = F(b)-F(a)

이런 계산결과의 관계 덕분에 역도함수는 구간이 정해지지 않은 적분이므로 정적분(indefinite integral) 이라는 용어를 쓰게 된다. 즉, 구간을 정하지 않은 다음과 같은 기호로 표시하게 된다.

\int f(x)dx

모든 상수는 미분하면 사라진다. 그러므로 주어진 함수의 역도함수는 어떤 상수항도 취할 수 있게 된다. 따라서 역도함수의 마지막에 임의의 상수가 온다는 의미로 임의의 적분상수 C를 붙여준다.

초등 함수로 표현할 수 없는 함수[편집]

역도함수가 존재하지만 그 역도함수를 초등함수(Elementary function)로 표현할 수 없는 함수도 많이 있다. 다음과 같은 예가 있다.

\int e^{-x^2}\,dx,\qquad \int \frac{\sin(x)}{x}\,dx,\qquad \int\frac{1}{\ln x}\,dx,\qquad \int x^{x}\,dx.