칸토어의 정리

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칸토어의 정리(Cantor's theorem)는 게오르크 칸토어가 증명한 집합론의 정리로, 임의의 집합 과 그 멱집합 사이에 전단사가 존재할 수 없다는 정리이다. 이 정리로부터 집합 기수는 그 멱집합 기수보다 클 수 없다는 사실을 알 수 있다. 이 정리로부터 제기된 의문은 연속체 가설의 토대를 제공하였다.

증명[편집]

임의의 집합 에 대하여

이면 이고 이므로 성립한다.

일 때, 집합 과 그 멱집합 사이에 전단사 가 존재한다고 가정하고, 로 정의하자. 이 때, 는 전단사이므로, 적당한 가 존재하여 라 하였을 때, 다음과 같은 모순이 발생한다.

  1. 인 경우, 집합 의 정의에 의해
  2. 인 경우, 이고 집합 의 정의에 의해

Q.E.D.

같이 보기[편집]