칸토어의 정리

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집합론에서, 칸토어의 정리(영어: Cantor's theorem)는 집합의 크기가 항상 그 멱집합의 크기보다 작다는 정리이다. 이에 따라, 집합과 그 멱집합 사이에는 일대일 대응이 존재하지 않는다.

정의[편집]

집합 멱집합 의 모든 부분 집합의 집합이다.

칸토어의 정리에 따르면, 임의의 집합 의 크기는 그 멱집합 의 크기보다 작다. 즉,

달리 말해, 임의의 기수 에 대하여,

이다.

증명[편집]

공집합 의 경우, 이며 이므로 성립한다.

공집합이 아닌 경우, 우선 단사 함수 이므로, 이다.

이제 이라고 가정하자. 즉, 전단사 함수 가 존재한다. 다음과 같은 의 부분 집합 를 구성하자.

그렇다면, 가정에 따라 이게 되는 가 존재한다. 이때,

  • 만약 라면, 집합 의 정의에 따라 , 즉 이다.
  • 만약 라면, 집합 의 정의에 따라 , 즉 이다.

즉, 이며, 이는 모순이다. 따라서 , 즉 이다.

역사[편집]

게오르크 칸토어가 증명하였다. 이 정리로부터 제기된 의문은 연속체 가설의 토대를 제공하였다.

같이 보기[편집]