큰 기수

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집합론에서, 큰 기수(큰基數, 영어: large cardinal)는 집합론의 표준적인 공리계(선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론)로는 그 존재를 증명할 수 없는 매우 큰 기수이다.

정의[편집]

큰 기수 공리는 명확히 정의되지 않는 용어이나, 대개 다음과 같은 성질을 만족시키는 공리 를 큰 기수 공리로 여긴다.

  • 는 "어떤 성질 를 만족시키는 기수가 존재한다"의 꼴이다.
    • 즉, 만약 ZFC가 일관적이라면, ZFC + "를 만족시키는 기수의 부재" 역시 일관적이다.
    • ZFC + "를 만족시키는 기수의 존재"는 ZFC의 일관성을 증명한다.

큰 기수는 큰 기수 공리에 의해 그 존재가 요구되는 기수이다.

성질[편집]

큰 기수 공리들은 대체로 무모순성 세기에 대하여 전순서를 이루는 것으로 보인다. 즉, 두 큰 기수 공리 , 에 대하여, 다음 가운데 하나가 성립한다.

이는 메타정리가 아니며, 단지 경험적인 관찰에 불과하다. 휴 우딘은 만약 오메가 추측(영어: Ω-conjecture)이 성립한다면 이 현상이 설명된다는 것을 보였다.

무모순성의 전순서는 기수의 크기의 전순서와 대체로 일치하나, 일반적으로 다르다. 예를 들어, 거대 기수(영어: huge cardinal)의 존재는 무모순성 세기에 따라서 초콤팩트 기수(영어: supercompact cardinal)의 존재보다 더 강력하나, 만약 거대 기수와 초콤팩트 기수가 둘 다 존재한다면, 가장 작은 거대 기수는 가장 작은 초콤팩트 기수보다 더 작다.

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증가하는 무모순성 순서로 정렬한, 대표적인 큰 기수 공리들의 목록은 다음과 같다.

참고 문헌[편집]

외부 링크[편집]