폰 노이만-베르나이스-괴델 집합론

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수학기초론에서, 폰 노이만-베르나이스-괴델 집합론(영어: von Neumann–Bernays–Gödel set theory, 약자 NBG)은 체르멜로-프렝켈 집합론(ZFC)의 보존적 확장 형태의 공리적 집합론이다. 순수하게 집합에 대한 명제에 대하여, ZFC(선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론)에서의 증명 가능성과 NBG에서의 증명 가능성이 서로 동치다. 또한 재귀적 정의를 허용할 경우 NBG는 모스-켈리 집합론(Morse–Kelley set theory, 약자 MK)가 된다. NBG는 ZFC나 MK와 다르게 유한적으로 공리화가능(finitely axiomatizable)하다.

ZFC와는 달리 NBG는 집합이 아닌 모임, 곧 고유 모임(proper class)도 다룰 수 있다. 가장 핵심적인 모임 존재 정리(class existence theorem)는, 어떤 논리식의 모든 양화자의 범위가 집합에만 국한된다면 해당 식을 만족시키는 집합들로 구성되는 모임도 존재한다는 내용이다. 이때 모임은 그 논리식의 단계적인 구축을 모임에 반영하는 방식으로 구성된다. 모든 집합론적 식들은 두 종류의 원자 논리식(구성원소와 등식관계)과 유한한 개수의 논리기호로부터 이루어지므로, 이들을 만족시키는 모임을 구성하는 데에는 유한한 공리만 있으면 충분하기 때문에 NBG는 유한적 공리화가능이다. NBG에서 모임의 개념은 ZFC의 선택 공리보다 더 강력한 전역 선택 공리(axiom of global choice)를 진술하는 데에도 사용된다.

공리화[편집]

NBG는 집합(set)과 모임(class) 2가지 객체를 다룰 수 있으며, 모든 집합은 모임이기도 하다. 이러한 객체의 존재를 수용하는 것을 통해 집합론적 역설을 피하여 모임을 다룰 수 있으며, 그 방식은 크게 베르나이스의 방법과 괴델의 방법 2가지로 나눌 수 있는데, 이들 간의 근본적인 차이는 없으며 주로 괴델의 진술 방식이 더 잘 쓰인다.

베르나이스는 두 개념마다 서로 다른 '타입'을 부여하여 따로 다루는 many-sorted logic 기법을 사용하였다. 이 경우 타입 간에 변수의 정의역이 서로 겹치지 않게 되기 때문에 포함관계(membership relation)도 서로 다른 2가지로 나눌 필요가 있는데, 하나는 집합 간의 포함관계인 ∈이고 다른 하나는 집합과 모임 간의 포함관계인 η이다. 집합과 모임을 서로 각각의 타입을 분류하는 이 방법은 언뜻 보면 직관적으로 보일 수 있으나 집합론의 구성에 있어서 많은 불편을 야기한다.

괴델은 기초 술어를 도입하여 이러한 분류를 피했다: 는 "가 모임이다"를 의미하고 는 "가 집합이다"를 의미한다. 괴델은 여기에 모든 집합이 모임이라는 공리와 모임 A가 어떤 모임의 원소라면 A는 집합이 된다는 공리를 추가했다.[1] Elliott Mendelson은 이를 수정하였는데, 우선 모든 것을 모임이라고 해두고 집합술어 로 정의하였다.[2] 이렇게 하면 모임 술어와 2개의 공리를 생략할 수 있다.

전역 선택 공리(axiom of global choice)는 간단히 말해 ZFC의 선택 공리의 더 강력한 형태이다.[3] 이 공리에 따르면 모든 비공집합들을 모은 모임 위에 전역 선택 함수 가 존재하여 모든 비공집합 에 대해 가 성립한다.

역사[편집]

1925년에 존 폰 노이만이 함수와 변수(argument)의 개념을 사용하여 모임의 개념을 정의하여 집합론에 도입하는 시도를 행하였다.[4] 이후 파울 베르나이스가 모임과 집합을 기초적 개념으로 받아들인 채 폰 노이만의 이론을 재공식화하였다.[5] 쿠르트 괴델선택공리와 일반화된 연속체 가설 간의 상대적 무모순성 증명에서 베르나이스의 이론을 단순화하였다.[6]

각주[편집]

  1. Gödel 1940, 3쪽.
  2. Mendelson 1997, 225–226쪽.
  3. Gödel 1940, 6쪽.
  4. von Neumann 1925, 221–224, 226, 229쪽; English translation: van Heijenoort 2002b, 396–398, 400, 403쪽.
  5. Bernays 1937, pp. 66–67.
  6. Gödel 1940.

외부 링크[편집]

  • NBG. 《nLab》 (영어)
  • Bernays, Paul (1937), “A System of Axiomatic Set Theory—Part I”, 《The Journal of Symbolic Logic》 2: 65–77, JSTOR 2268862, doi:10.2307/2268862 .
  • Gödel, Kurt (1940), 《The Consistency of the Axiom of Choice and of the Generalized Continuum Hypothesis with the Axioms of Set Theory》 Revis판, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-07927-1 .
  • Mendelson, Elliott (1997), 《An Introduction to Mathematical Logic》 4판, London: Chapman and Hall/CRC;, ISBN 978-0-412-80830-2 .
  • von Neumann, John (1925), “Eine Axiomatisierung der Mengenlehre”, 《Journal für die Reine und Angewandte Mathematik》 154: 219–240 .