폰 노이만-베르나이스-괴델 집합론

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
둘러보기로 가기 검색하러 가기

수학기초론에서, 폰 노이만-베르나이스-괴델 집합론(von Neumann–Bernays–Gödel集合論, 영어: von Neumann–Bernays–Gödel set theory, 약자 NBG 또는 NGB)은 체르멜로-프렝켈 집합론(ZFC)의 보존적 확장 형태의 공리적 집합론이다. 순수하게 집합에 대한 명제에 대하여, ZFC(선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론)에서의 증명 가능성과 NBG에서의 증명 가능성이 서로 동치다.

NBG의 존재론집합이 아닌 모임인 고유 모임을 포함한다. 자기 참조(self-reference)를 하여 정의되는 재귀적 정의(impredicative)를 허용할 경우 NBG는 모스-켈리 집합론(Morse–Kelley set theory, 약자 MK)가 된다. NBG는 ZFC와 MK와 다르게 유한 집합으로 공리화될 수 있다.

NBG의 핵심적 정리는 모임 존재 정리(class existence theorem)인데, 이것은 공식의 양화자(quantifier)들의 범위가 집합들을 포괄하는 모든 논리식에 대하여, 해당 식을 만족시키는 집합들로부터 구성되는 모임(class)이 존재한다는 것이다. 이 모임은 그 논리식의 단계적 구축을 모임들로 반영함으로써 만들어진다. 모든 집합론적 식들은 두 종류의 원자 논리식(구성원소와 등식관계)과 유한한 개수의 논리기호로부터 이루어지므로, 이들을 만족시키는 모임을 구성하는 데에는 오직 유한한 개수의 공리가 필요된다. 이것이 NBG가 유한적으로 공리화될 수 있는(finitely axiomatizable) 이유이다. 모임들은 다른 '구축'에도 쓰이는데, 집합론적 패러독스들을 다루고, ZFC의 선택공리보다 더 강력한 '전체적 선택 공리'(axiom of global choice)를 진술하는 데에도 사용된다.

1925년에 존 폰 노이만이 집합론에 모임의 개념을 도입하였다. 그의 이론의 초기적 발상들은 함수와 변수(argument)였고, 이것들을 사용하여 그는 모임과 집합을 정의하였다.[1] 이후 폴 베르나이스가 모임과 집합을 기초적 개념으로 받아들인 채 폰 노이만의 이론을 재공식화하였다.[2] 쿠르트 괴델은 그의 선택공리상대적 무모순성 증명과 일반화된 연속체 가설로 베르나이스의 이론을 단순화하였다.[3]

각주[편집]

  1. von Neumann 1925, 221–224, 226, 229쪽; English translation: van Heijenoort 2002b, 396–398, 400, 403쪽.
  2. Bernays 1937, pp. 66–67.
  3. Gödel 1940.

외부 링크[편집]

  • NBG. 《nLab》 (영어)