선택 공리

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선택 공리의 형상화. 선택 함수는 각 집합 S_i를 그 속의 원소 x_i\in S_i로 대응시킨다.

집합론에서, 선택 공리(選擇公理, 영어: axiom of choice, 약자 AC)는 공집합이 아닌 집합에서 한 원소를 고를 수 있으며, 또한 이를 무한 번 반복할 수 있다는 공리이다. 직관적으로 자연스러워 보이지만, 비직관적인 결과를 함의한다.

정의[편집]

집합족 \mathcal S 위의 선택 함수(選擇函數, 영어: choice function)는 다음 성질을 만족시키는 함수이다.

f\colon\mathcal S\to\bigcup\mathcal S=\bigcup_{S\in\mathcal S}S
\forall S\in\mathcal S\colon f(S)\in S

만약 \varnothing\in\mathcal S라면, \mathcal S는 물론 선택 함수를 가질 수 없다. 선택 공리에 의하면, 공집합을 포함하지 않는 모든 집합족 \mathcal S는 선택 함수를 갖는다.

성질[편집]

만약 체르멜로-프렝켈 집합론(ZF)이 일관적이라면, 선택 공리는 체르멜로-프렝켈 집합론과 독립적이다. 즉, 다음을 보일 수 있다.

\mathsf{ZF}\vdash\operatorname{Con}(\mathsf{ZF})\iff\operatorname{Con}(\mathsf{ZFC})
\mathsf{ZF}\vdash\operatorname{Con}(\mathsf{ZF})\iff\operatorname{Con}(\mathsf{ZF\lnot C})

선택 공리를 함의하는 명제[편집]

체르멜로-프렝켈 집합론 아래, 다음 명제들은 선택 공리를 함의한다.

선택 공리와 동치인 명제[편집]

체르멜로-프렝켈 집합론(ZF)을 가정하면, 선택 공리는 수많은 동치 명제들을 가지며, 다음과 같다. 즉,

\mathsf{ZF}\vdash\mathsf{AC}\iff A

인 명제 A의 예는 다음을 들 수 있다.

선택 공리로부터 함의되는 명제[편집]

만약 체르멜로-프렝켈 집합론이 일관적이라면 체르멜로-프렝켈 집합론으로 다음 정리들을 증명할 수 없지만, 선택 공리를 추가하면 증명할 수 있다.

역사[편집]

게오르크 칸토어는 선택 공리와 동치인 정렬 정리가 증명이 필요 없을 정도로 자명한 "사고 법칙"(독일어: Denkgesetz 뎅크게제츠[*])이라고 여겼다. 그러나 다른 수학자들은 이 "사고 법칙"에 대하여 회의적이었다. 1904년에 헝가리의 수학자 쾨니그 줄러(헝가리어: Kőnig Gyula)는 정렬 정리를 반증하였다고 발표하였다. 그러나 몇 주 뒤 펠릭스 하우스도르프가 이 "반증"의 오류를 지적하였다.

1904년에 에른스트 체르멜로정렬 정리를 보다 더 자명한 원리로부터 유도하기 위하여 선택 공리를 도입하였고, 이를 통해 정렬 정리를 증명하였다.[2]

쿠르트 괴델내부 모형 이론을 사용하여, 선택 공리가 체르멜로-프렝켈 집합론과 일관적임을 보였다.[3] 구체적으로, 구성 가능 전체 L체르멜로-프렝켈 집합론모형이며, 이 모형에서는 선택 공리가 성립한다. 폴 코언강제법을 사용하여 선택 공리의 부정이 체르멜로-프렝켈 집합론과 일관적임을 보였다.

현재까지도, 많은 수학자들은 선택 공리에 대하여 회의적인 입장을 보인다. 미국의 수학자 제리 로이드 보나(영어: Jerry Lloyd Bona)는 이에 대하여 다음과 같이 농담하였다.

선택 공리는 당연히 참이고, 정렬 정리는 당연히 거짓이고, 초른의 보조정리는 글쎄……?

The Axiom of Choice is obviously true, the well-ordering principle obviously false, and who can tell about Zorn's lemma?

이는 선택 공리 자체는 직관적으로 보이지만, 이와 동치인 여러 명제(정렬 정리 등)는 매우 비직관적임을 시사한다.

사용례[편집]

공식적인 형식화가 없었음에도 불구하고 19세기 말까지 선택공리는 암묵적으로 수학자들 사이에서 사용되어 왔다. 예를 들어, 집합 X가 공집합이 아닌 집합만을 포함한다고 했을 때, 수학자들은 종종 “모든 X에 포함된 (집합) s에 대해, F(s)s의 원소라고 하자” 라고 기술하곤 했다. 일반적으로 (함수) F 가 선택공리 없이 존재할 수 있음을 증명하기란 불가능했고, 그로 인해 Zermelo 이전 까지는 이를 심각한 문제로 여기지 않았다.

한편, 모든 함수가 선택공리를 필요로 하지는 않는다. 유한 집합 X의 경우, 선택공리는 다른 집합론의 공리들로부터 도출될 수 있다. 각각에 적어도 하나의 물건이 담긴 (유한한) 여러 개의 상자들을 상상 해 보자. 이 때 우리는 각 상자에서 정확히 하나의 물건을 선택할 수 있다. 예를 들자면 이런 식이다. 첫 번째 상자에서 물건 한 개를 선택하고, 두 번째 상자로 옮겨 여기서도 물건 한 개를 선택한다. 그 후 세 번째 상자에서도 물건을 하나 선택하고, 이런 방식을 유한한 횟수로 반복해서, 마지막 상자에서 물건을 하나 선택하는 것으로 이 과정을 마칠 수 있다. 이 때, 각 상자에서 하나 씩의 물건을 선택함으로서 보여지는 상자-물건의 관계를 선택 함수에 해당한다고 할 수 있다. 그러나 이런 방법은 공집합이 아닌 집합의 모든 가산 집합족(countable family)에 대해서도 선택함수가 존재한다는, 가산 선택 공리 (Axiom of Countable Choice)를 증명하는 데에는 사용될 수 없다. 같은 방법이 공집합이 아닌 집합들의 무한열 (infinite sequence of nonempty sets)에 적용될 경우, 각각의 유한한 단계에서는 함수가 정의되나 전체 집합족에 대한 함수가 정의되는 단계가 존재하지 않게 된다. 결과적으로 체르멜로-프렝켈 집합론(ZF) 체계 하에서 선택공리 없이는 어떤 “극한” 선택함수도 구성할 수 없게 되는 것이다.

참고 문헌[편집]

바깥 고리[편집]