선택공리

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선택공리(選擇公理, Axiom of choice, AC)는 공집합이 아닌 집합들을 원소로 갖는 집합족이 주어졌을 때, 각 집합에서 원소를 하나씩 선택하여 새로운 집합을 구성할 수 있다는 공리이다. 이 공리는 1904년 에른스트 체르멜로가 처음 제시했다.[1]

이 공리는 직관적으로 자연스러워 보이지만, 이 공리를 이용하면 비직관적인 결과를 얻을 수도 있다. 예를 들어, 바나흐-타르스키 역설에 따르면 구 하나를 유한개의 조각으로 분할하여 재조합하면 원래 구와 같은 부피를 갖는 구 두 개를 만들 수 있다.

정의[편집]

임의의 집합 A 에 대해, 그 집합의 원소 a 가 공집합이 아닌 집합이면, 각각의 원소인 집합 a 에서 하나씩 원소 b∈a 를 꺼내어(정확하게는 f(a) = b 인 함수 f 가 존재하여) 새로운 집합 B를 만들 수 있다.

동치 명제들[편집]

{Aλ}λ∈Λ 를 어느 것도 공집합이 아닌 집합들의 집합이라 하면, 집합들의 직적

\prod_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda

도 공집합이 아니다.

참고 문헌[편집]

  1. Zermelo, Ernst (1904년). Beweis, dass jede Menge wohlgeordnet werden kann (모든 집합은 정렬가능하다는 증명) (reprint). 《Mathematische Annalen》 59: pp. 514–16. doi:10.1007/BF01445300.

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