강콤팩트 기수
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집합론에서 강콤팩트 기수(强compact基數, 영어: strongly compact cardinal)는 티호노프 정리와 유사한 성질을 만족시키는 무한 기수이다. 큰 기수의 하나이다.
정의
[편집]기수 에 대하여, 위상 공간 가 다음 성질을 만족시키면, 가 -콤팩트하다고 한다.
- 의 모든 열린 덮개는 크기가 미만인 부분 덮개를 갖는다.
일반적인 콤팩트 공간의 개념은 -콤팩트 공간이다.
두 무한 기수 가 주어졌을 때, 무한 논리 는 개 미만의 항들의 논리합·논리곱과 개 미만의 변수들에 대한 한정 기호 ∀및 ∃를 적용할 수 있는 논리이다.
무한 기수 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 무한 기수를 강콤팩트 기수라고 한다.
- 임의의 개수의 -콤팩트 하우스도르프 공간들의 곱공간은 -콤팩트 하우스도르프 공간이다.[1]
- 임의의 집합 위의 -완비 필터는 -완비 극대 필터의 부분 필터이다.[2]:37
- 무한 논리 는 콤팩트성 정리를 만족시킨다.[2]:36–37 즉, 임의의 명제들의 집합 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
성질
[편집]모든 비가산 강콤팩트 기수는 가측 기수이다.[2]:38 (가측 기수는 정의에 따라 비가산 기수이므로, 는 강콤팩트 기수이지만 가측 기수가 아니다.) 모든 초콤팩트 기수는 강콤팩트 기수이다.
예
[편집]선택 공리를 가정하면, 티호노프 정리에 따라서, 은 강콤팩트 기수이다. 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론에서는 이 밖의 다른 강콤팩트 기수의 존재를 증명할 수 없다.
역사
[편집]하워드 제롬 카이슬러(독일어: Howard Jerome Keisler)와 알프레트 타르스키가 도입하였다.[3]
각주
[편집]- ↑ Mycielski, Jan (1964). “Two remarks on Tychonoff’s product theorem”. 《Bull. Acad. Pol. Sci., Sér. Sci. Math. Astron. Phys.》 (영어) 12: 439–441. Zbl 0138.17703.
- ↑ 가 나 다 Kanamori, Akihiro (2003). 《The higher infinite: large cardinals in set theory from their beginnings》. Springer Monographs in Mathematics (영어) 2판. Springer. doi:10.1007/978-3-540-88867-3. ISBN 978-3-540-88866-6. ISSN 1439-7382. Zbl 1022.03033.
- ↑ H. J., Keisler; A. Tarski (1964). “From accessible to inaccessible cardinals (Results holding for all accessible cardinal numbers and the problem of their extension to inaccessible ones)”. 《Fundamenta Mathematicae》 (영어) 53 (3): 225–308.
- Mycielski, Jan (2006년 2월). “A system of axioms of set theory for the rationalists” (PDF). 《Notices of the American Mathematical Society》 (영어) 53 (2): 206–213. Zbl 1102.03050.
외부 링크
[편집]- “Strongly compact cardinal”. 《Cantor’s Attic》 (영어). 2014년 12월 25일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2014년 12월 25일에 확인함.