필터 (수학)

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집합 멱집합하세 도형. 녹색 원소들은 극대 필터를 구성하며, 반대로 흰색 원소들은 극대 순서 아이디얼을 구성한다.

순서론에서 필터(영어: filter)는 어떤 원순서 집합하향 상집합이며, 반대로 순서 아이디얼(順序ideal, 영어: order ideal)은 어떤 원순서 집합상향 하집합이다.

일반위상수학에서 필터의 개념은 점렬의 일반화로 사용되며, 수리논리학에서 필터는 초곱을 정의하는 데 쓰인다. 예를 들어, 초실수의 집합은 자연수 집합 위의 극대 필터를 사용하여 정의된다.

정의[편집]

필터와 순서 아이디얼[편집]

원순서 집합 부분 집합 가운데 다음 두 조건을 만족시키는 것을 필터라고 한다.

원순서 집합 부분 집합 가운데 다음 두 조건을 만족시키는 것을 순서 아이디얼이라고 한다.

소 필터와 소 순서 아이디얼[편집]

원순서 집합 의 필터 에 대하여, 만약 가 아이디얼이라면, 소 필터(영어: prime filter), 소 순서 아이디얼(영어: prime order ideal)이라고 한다.

극대 필터와 극대 순서 아이디얼[편집]

원순서 집합 의 필터들은 부분 집합 관계에 대하여 부분 순서 집합 을 이루며, 만약 하향 원순서 집합이라면 그 최대 원소 자체이다. 이 경우, 극대 원소극대 필터(極大filter, 영어: maximal filter) 또는 초필터(超filter, 영어: ultrafilter 울트라필터[*])라고 한다.

마찬가지로, 원순서 집합 의 순서 아이디얼들은 부분 집합 관계에 대하여 부분 순서 집합 을 이루며, 만약 상향 원순서 집합이라면 그 최대 원소 자체이다. 이 경우 극대 원소극대 순서 아이디얼(極大順序ideal, 영어: maximal order ideal)라고 한다.

( 자체를 제외하는 것은 환론에서 극대 아이디얼을 정의할 때 자체를 제외하는 것과 유사하다.)

성질[편집]

합집합과 교집합[편집]

같은 원순서 집합 속의 두 필터의 합집합이나 교집합은 일반적으로 필터가 아니며, 순서 아이디얼의 경우도 마찬가지다. 다만, 원순서 집합 속의 필터들의 사슬 에 대하여, 합집합 은 필터를 이룬다. 그러나 교집합 는 여전히 필터가 아닐 수 있다. 마찬가지로, 순서 아이디얼들의 사슬합집합은 순서 아이디얼이지만, 교집합은 순서 아이디얼이 아닐 수 있다.

예를 들어, 자연수 집합 에 서로 비교 불가능한 두 개의 무한대 , 를 추가하였을 때,

는 필터이지만,

하향 원순서 집합이 아니므로 필터가 아니다.

극대 필터 정리[편집]

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

  • 하향 원순서 집합
  • 필터
  • 최소 원소 . 즉, 모든 에 대하여 이다.

극대 필터 정리(極大filter定理, 영어: maximal filter theorem)에 따르면, 를 포함하는 극대 필터가 항상 적어도 하나 이상 존재한다. 이는 초른의 보조정리로 쉽게 증명된다.

증명:

부분 순서 집합

를 생각하자. 초른의 보조정리에 따라, 속의 모든 사슬상계를 가지는 것을 보이면 족하다.

속의 임의의 사슬 에 대하여, 상계이다. 이제 임을 보이면 족하다.

귀류법을 사용하여, 라고 가정하자. 그렇다면

를 찾을 수 있다. 그렇다면 인데, 이는 모순이다.

마찬가지로, 최대 원소를 갖는 상향 원순서 집합 에서, 전체가 아닌 모든 순서 아이디얼은 극대 순서 아이디얼에 포함된다.

격자[편집]

격자 부분 집합 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • 는 순서 아이디얼이다.
  • 다음 세 조건이 성립한다.
    • 공집합이 아니다.
    • 에 대하여 이다.
    • 에 대하여 이다.

격자 부분 집합 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • 는 필터이다.
  • 다음 세 조건이 성립한다.
    • 공집합이 아니다.
    • 에 대하여 이다.
    • 에 대하여 이다.

불 대수[편집]

불 대수 는 다음과 같이 표준적으로 가환환으로 여길 수 있다.

또한, 불 대수 는 다음과 같이 표준적으로 부분 순서 집합으로 여길 수 있다.

그렇다면, 의 순서 아이디얼의 개념은 가환환으로서의 아이디얼의 개념과 일치한다.

불 대수 위의 필터 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.

  • 는 극대 필터이다.
  • 임의의 에 대하여, 이거나 이다.
  • 는 극대 순서 아이디얼이다.

그물의 유도 필터[편집]

집합 상향 원순서 집합 그물 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 의 꼬리들의 집합

하향 원순서 집합을 이루며, 이로부터 생성되는 필터

를 그물 유도 필터(영어: derived filter)라고 한다.

마찬가지로, 집합 하향 원순서 집합 및 함수 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 의 머리들의 집합

상향 원순서 집합을 이루며, 이로부터 생성되는 아이디얼

유도 순서 아이디얼(영어: derived order ideal)라고 한다.

수열그물의 특수한 경우이므로, 마찬가지로 유도 필터를 정의할 수 있다.

필터에 대응되는 그물[편집]

모든 그물에 필터가 대응되는 것처럼, 모든 필터에도 그물을 대응시킬 수 있다. 따라서, 위상 수학에서 그물 이론과 필터 이론은 사실상 동치이다.[1]

집합 멱집합 부분 집합 가 주어졌을 때, 집합

에 다음과 같은 원순서를 줄 수 있다.

만약 상향 원순서 집합이며 이라면 역시 상향 원순서 집합이며,

그물을 이룬다. 반대로, 하향 원순서 집합이며 라면 역시 하향 원순서 집합이며,

그물을 이룬다.

멱집합 위의 필터[편집]

집합 멱집합 위의 필터 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이이다.

  • 는 극대 필터이다.
  • 이며, 임의의 에 대하여, 만약 라면 이거나 이다.
  • 이며, 임의의 에 대하여, 이거나 이다.

따라서, 집합 멱집합 위의 극대 필터 는 대략 "대부분"의 개념의 추상화로 여길 수 있다. 즉, 어떤 집합의 부분 집합 는 "대부분"이거나 (), 아니면 그 여집합이 "대부분"이다 ().

한원소 부분 집합에 대한 주 필터

는 극대 필터이다. 유한 집합멱집합 위의 극대 필터는 모두 위와 같은 꼴이다.

완비 극대 필터[편집]

기수 에 대하여, -완비 극대 필터(영어: -complete maximal filter)는 다음 성질을 만족시키는, 집합 위의 극대 필터 이다.

  • 임의의 에 대하여, 만약 라면 이다.

정의에 따라, 모든 극대 필터는 -완비 극대 필터이다.

집합 위의 극대 필터 완비성 는 다음 조건을 만족시키는 가장 작은 기수이다.

  • 이며 가 존재한다.

만약 완비성이 존재한다면, 완비성은 정의에 따라 항상 이상이다. 주 극대 필터의 경우, 완비성이 존재하지 않는다.

[편집]

자명한 필터[편집]

임의의 하향 원순서 집합 속에서, 자체는 필터를 이룬다. 마찬가지로, 임의의 상향 원순서 집합 속에서, 자체는 순서 아이디얼을 이룬다.

주 필터와 주 아이디얼[편집]

어떤 원소 를 포함하는 가장 작은 필터를 주 필터(영어: principal filter)로 부르며,

로 표기한다. 어떤 원소 를 포함하는 가장 작은 아이디얼을 주 순서 아이디얼(영어: principal order ideal)로 부르며,

로 표기한다.

원순서 집합 의 극소 필터는 그 극대 원소로 생성되는 주 필터이다. 마찬가지로, 원순서 집합의 극소 순서 아이디얼은 그 극소 원소로 생성되는 주 순서 아이디얼이다.

프레셰 필터[편집]

집합 및 무한 기수 에 대하여,

위의 필터를 이룬다. 만약 이라면, 이는 쌍대유한집합들의 집합이며, 이를 프레셰 필터(영어: Fréchet filter)라고 한다.

근방 필터[편집]

위상 공간에서, 주어진 점의 모든 근방들은 근방 필터라는 필터를 이룬다. 필터가 주어진 점에 수렴한다는 것은 근방 필터를 포함하는 것을 의미한다.

역사[편집]

순서 아이디얼의 개념은 불 대수에 대하여 1934년에 마셜 하비 스톤이 도입하였다.[2] "순서 아이디얼"이라는 이름은 불 대수의 순서 아이디얼은 가환환으로서의 아이디얼과 일치하기 때문에 사용되었다. 1937년에 스톤은 순서 아이디얼을 격자에 대하여 "μ-아이디얼"(영어: μ-ideal)이라는 이름으로 일반화하였다.[3]:3, Definition 1 마찬가지로, 스톤은 격자 속의 필터를 "α-아이디얼"(영어: α-ideal)이라고 명명하였다.[3]:4, Definition 1

이와 독자적으로, 앙리 카르탕은 1937년에 점렬의 개념을 일반화하여 "필터"(프랑스어: filtre 필트르[*])와 "초필터"(프랑스어: ultrafiltre 윌트라필트르[*])라는 용어를 도입하였다.[4][5] 이후 니콜라 부르바키가 이 개념을 널리 사용하여 대중화하였다.

참고 문헌[편집]

  1. Bartle, R. G. (1955년 10월). “Nets and filters in topology”. 《The American Mathematical Monthly》 (영어) 62 (8): 551–557. doi:10.2307/2307247. JSTOR 2307247. MR 0073153. Zbl 0065.37901. 
  2. Stone, M. H. (1934년 3월). “Boolean algebras and their application to topology”. 《Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America》 (영어) 20 (3): 197–202. doi:10.1073/pnas.20.3.197. JFM 60.0108.02. PMC 1076376. Zbl 0010.08104. 
  3. Stone, M. H. (1937). “Topological representation of distributive lattices and Brouwerian logics”. 《Časopis pro pěstování matematiky a fysiky》 (영어) 67 (1): 1–25. ISSN 1802-114X. JFM 63.0830.01. Zbl 0018.00303. 
  4. Cartan, Henri (1937). “Théorie des filtres”. 《Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des sciences》 (프랑스어) 205: 595-598. JFM 63.0569.02. Zbl 0017.24305. 
  5. Cartan, Henri (1937). “Filtres et ultrafiltres”. 《Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des sciences》 (프랑스어) 205: 777-779. JFM 63.0569.03. Zbl 0018.00302. 

바깥 고리[편집]