필터 (수학)

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집합 멱집합하세 도형. 녹색 원소들은 극대 필터를 구성하며, 반대로 흰색 원소들은 극대 순서 아이디얼을 구성한다.

순서론에서 필터(영어: filter)는 어떤 원순서 집합하향 상집합이며, 반대로 순서 아이디얼(順序ideal, 영어: order ideal)은 어떤 원순서 집합상향 하집합이다.

일반위상수학에서 필터의 개념은 점렬의 일반화로 사용되며, 수리논리학에서 필터는 초곱을 정의하는 데 쓰인다. 예를 들어, 초실수의 집합은 자연수 집합 위의 극대 필터를 사용하여 정의된다.

정의[편집]

필터와 순서 아이디얼[편집]

원순서 집합 부분 집합 가운데 다음 두 조건을 만족시키는 것을 필터라고 한다.

원순서 집합 부분 집합 가운데 다음 두 조건을 만족시키는 것을 순서 아이디얼이라고 한다.

소 필터와 소 순서 아이디얼[편집]

원순서 집합 의 필터 에 대하여, 만약 가 아이디얼이라면, 소 필터(영어: prime filter), 소 순서 아이디얼(영어: prime order ideal)이라고 한다.

극대 필터와 극대 순서 아이디얼[편집]

원순서 집합 의 필터들은 부분 집합 관계에 대하여 부분 순서 집합 을 이루며, 만약 하향 원순서 집합이라면 그 최대 원소 자체이다. 이 경우, 극대 원소극대 필터(極大filter, 영어: maximal filter) 또는 초필터(超filter, 영어: ultrafilter 울트라필터[*])라고 한다.

마찬가지로, 원순서 집합 의 순서 아이디얼들은 부분 집합 관계에 대하여 부분 순서 집합 을 이루며, 만약 상향 원순서 집합이라면 그 최대 원소 자체이다. 이 경우 극대 원소극대 순서 아이디얼(極大順序ideal, 영어: maximal order ideal)라고 한다.

( 자체를 제외하는 것은 환론에서 극대 아이디얼을 정의할 때 자체를 제외하는 것과 유사하다.)

성질[편집]

합집합과 교집합[편집]

같은 원순서 집합 속의 두 필터의 합집합이나 교집합은 일반적으로 필터가 아니며, 순서 아이디얼의 경우도 마찬가지다. 다만, 원순서 집합 속의 필터들의 사슬 에 대하여, 합집합 은 필터를 이룬다. 그러나 교집합 는 여전히 필터가 아닐 수 있다. 마찬가지로, 순서 아이디얼들의 사슬합집합은 순서 아이디얼이지만, 교집합은 순서 아이디얼이 아닐 수 있다.

예를 들어, 자연수 집합 에 서로 비교 불가능한 두 개의 무한대 , 를 추가하였을 때,

는 필터이지만,

하향 원순서 집합이 아니므로 필터가 아니다.

극대 필터 정리[편집]

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

  • 하향 원순서 집합
  • 필터
  • 최소 원소 . 즉, 모든 에 대하여 이다.

극대 필터 정리(極大filter定理, 영어: maximal filter theorem)에 따르면, 를 포함하는 극대 필터가 항상 적어도 하나 이상 존재한다. 이는 초른의 보조정리로 쉽게 증명된다.

증명:

부분 순서 집합

를 생각하자. 초른의 보조정리에 따라, 속의 모든 사슬상계를 가지는 것을 보이면 족하다.

속의 임의의 사슬 에 대하여, 상계이다. 이제 임을 보이면 족하다.

귀류법을 사용하여, 라고 가정하자. 그렇다면

를 찾을 수 있다. 그렇다면 인데, 이는 모순이다.

마찬가지로, 최대 원소를 갖는 상향 원순서 집합 에서, 전체가 아닌 모든 순서 아이디얼은 극대 순서 아이디얼에 포함된다.

격자[편집]

격자 부분 집합 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • 는 순서 아이디얼이다.
  • 다음 세 조건이 성립한다.
    • 공집합이 아니다.
    • 에 대하여 이다.
    • 에 대하여 이다.

격자 부분 집합 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • 는 필터이다.
  • 다음 세 조건이 성립한다.
    • 공집합이 아니다.
    • 에 대하여 이다.
    • 에 대하여 이다.

불 대수[편집]

불 대수 는 다음과 같이 표준적으로 가환환으로 여길 수 있다.

또한, 불 대수 는 다음과 같이 표준적으로 부분 순서 집합으로 여길 수 있다.

그렇다면, 의 순서 아이디얼의 개념은 가환환으로서의 아이디얼의 개념과 일치한다.

불 대수 위의 필터 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.

  • 는 극대 필터이다.
  • 임의의 에 대하여, 이거나 이다.
  • 는 극대 순서 아이디얼이다.

그물의 유도 필터[편집]

집합 상향 원순서 집합 그물 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 의 꼬리들의 집합

하향 원순서 집합을 이루며, 이로부터 생성되는 필터

를 그물 유도 필터(영어: derived filter)라고 한다.

마찬가지로, 집합 하향 원순서 집합 및 함수 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 의 머리들의 집합

상향 원순서 집합을 이루며, 이로부터 생성되는 아이디얼

유도 순서 아이디얼(영어: derived order ideal)라고 한다.

수열그물의 특수한 경우이므로, 마찬가지로 유도 필터를 정의할 수 있다.

필터에 대응되는 그물[편집]

모든 그물에 필터가 대응되는 것처럼, 모든 필터에도 그물을 대응시킬 수 있다. 따라서, 위상 수학에서 그물 이론과 필터 이론은 사실상 동치이다.[1]

집합 멱집합 부분 집합 가 주어졌을 때, 집합

에 다음과 같은 원순서를 줄 수 있다.

만약 상향 원순서 집합이며 이라면 역시 상향 원순서 집합이며,

그물을 이룬다. 반대로, 하향 원순서 집합이며 라면 역시 하향 원순서 집합이며,

그물을 이룬다.

멱집합 위의 필터[편집]

집합 멱집합 위의 필터 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이이다.

  • 는 극대 필터이다.
  • 이며, 임의의 에 대하여, 만약 라면 이거나 이다.
  • 이며, 임의의 에 대하여, 이거나 이다.

따라서, 집합 멱집합 위의 극대 필터 는 대략 "대부분"의 개념의 추상화로 여길 수 있다. 즉, 어떤 집합의 부분 집합 는 "대부분"이거나 (), 아니면 그 여집합이 "대부분"이다 ().

한원소 부분 집합에 대한 주 필터

는 극대 필터이다. 유한 집합멱집합 위의 극대 필터는 모두 위와 같은 꼴이다.

완비 극대 필터[편집]

기수 에 대하여, -완비 극대 필터(영어: -complete maximal filter)는 다음 성질을 만족시키는, 집합 위의 극대 필터 이다.

  • 임의의 에 대하여, 만약 라면 이다.

정의에 따라, 모든 극대 필터는 -완비 극대 필터이다.

집합 위의 극대 필터 완비성 는 다음 조건을 만족시키는 가장 작은 기수이다.

  • 이며 가 존재한다.

만약 완비성이 존재한다면, 완비성은 정의에 따라 항상 이상이다. 주 극대 필터의 경우, 완비성이 존재하지 않는다.

[편집]

자명한 필터[편집]

임의의 하향 원순서 집합 속에서, 자체는 필터를 이룬다. 마찬가지로, 임의의 상향 원순서 집합 속에서, 자체는 순서 아이디얼을 이룬다.

주 필터와 주 아이디얼[편집]

어떤 원소 를 포함하는 가장 작은 필터를 주 필터(영어: principal filter)로 부르며,

로 표기한다. 어떤 원소 를 포함하는 가장 작은 아이디얼을 주 순서 아이디얼(영어: principal order ideal)로 부르며,

로 표기한다.

원순서 집합 의 극소 필터는 그 극대 원소로 생성되는 주 필터이다. 마찬가지로, 원순서 집합의 극소 순서 아이디얼은 그 극소 원소로 생성되는 주 순서 아이디얼이다.

프레셰 필터[편집]

집합 및 무한 기수 에 대하여,

위의 필터를 이룬다. 만약 이라면, 이는 쌍대유한집합들의 집합이며, 이를 프레셰 필터(영어: Fréchet filter)라고 한다.

근방 필터[편집]

위상 공간에서, 주어진 점의 모든 근방들은 근방 필터라는 필터를 이룬다. 필터가 주어진 점에 수렴한다는 것은 근방 필터를 포함하는 것을 의미한다.

역사[편집]

순서 아이디얼의 개념은 불 대수에 대하여 1934년에 마셜 하비 스톤이 도입하였다.[2] "순서 아이디얼"이라는 이름은 불 대수의 순서 아이디얼은 가환환으로서의 아이디얼과 일치하기 때문에 사용되었다. 1937년에 스톤은 순서 아이디얼을 격자에 대하여 "μ-아이디얼"(영어: μ-ideal)이라는 이름으로 일반화하였다.[3]:3, Definition 1 마찬가지로, 스톤은 격자 속의 필터를 "α-아이디얼"(영어: α-ideal)이라고 명명하였다.[3]:4, Definition 1

이와 독자적으로, 앙리 카르탕은 1937년에 점렬의 개념을 일반화하여 "필터"(프랑스어: filtre 필트르[*])와 "초필터"(프랑스어: ultrafiltre 윌트라필트르[*])라는 용어를 도입하였다.[4][5] 이후 니콜라 부르바키가 이 개념을 널리 사용하여 대중화하였다.

참고 문헌[편집]

  1. Bartle, R. G. (1955년 10월). “Nets and filters in topology”. 《The American Mathematical Monthly》 (영어) 62 (8): 551–557. JSTOR 2307247. MR 0073153. Zbl 0065.37901. doi:10.2307/2307247. 
  2. Stone, M. H. (1934년 3월). “Boolean algebras and their application to topology”. 《Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America》 (영어) 20 (3): 197–202. JFM 60.0108.02. PMC 1076376. Zbl 0010.08104. doi:10.1073/pnas.20.3.197. 
  3. Stone, M. H. (1937). “Topological representation of distributive lattices and Brouwerian logics”. 《Časopis pro pěstování matematiky a fysiky》 (영어) 67 (1): 1–25. ISSN 1802-114X. JFM 63.0830.01. Zbl 0018.00303. 
  4. Cartan, Henri (1937). “Théorie des filtres”. 《Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des sciences》 (프랑스어) 205: 595-598. JFM 63.0569.02. Zbl 0017.24305. 
  5. Cartan, Henri (1937). “Filtres et ultrafiltres”. 《Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des sciences》 (프랑스어) 205: 777-779. JFM 63.0569.03. Zbl 0018.00302. 

바깥 고리[편집]