필터 (수학)

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집합 \{1,2,3,4\}의 부분집합이 부분순서로 나열되어 있다. 원소 1을 포함하는 모든 집합(녹색)은 필터를 이룬다.

필터(filter)는 부분순서집합의 부분집합으로, 필터에 어떤 원소가 포함된다면 그 원소보다 큰 원소 또한 필터에 포함된다. 많은 경우 필터는 어떤 멱집합의 부분집합을 가리키며, 이 때 멱집합 내에서의 부분순서는 두 집합이 서로를 포함하는지로 결정된다.

정의[편집]

부분순서집합 (P, \le)에 대해, 다음의 성질을 만족하는 P의 부분집합 F필터로 정의한다.

  1. F공집합이 아니다.
  2. F에 속하는 임의의 x, y에 대하여, z \le x, z \le yzF에 존재한다.
  3. xF의 원소이고 x \le y이면 y 또한 F의 원소이다.
  4. FP와 같지 않다. 정의에 따라 이 공리를 제외하기도 하며, 그 경우 이 공리를 따르면 proper filter로 부른다.

네 공리 중 앞의 두 개를 만족하는 경우는 필터기저(filter base)로 부른다.

어떤 원소 p를 포함하는 가장 작은 필터를 주 필터(principal filter)로 부르며, \uparrow p로 표기한다.

집합에서의 필터[편집]

집합 S에 대해, 멱집합 \mathbf{B}(S)와 부분집합 연산자 (\mathbf{B}(S), \subseteq)격자를 이루며, 이때 필터 F는 다음과 같이 정의된다.

  1. FS를 포함한다.
  2. F에 속하는 두 집합의 교집합 또한 F에 속한다. (유한 번의 교집합에 대해 닫힘)
  3. 어떤 집합이 F의 원소 중 하나를 부분집합으로 가진다면, 그 집합 또한 F에 속한다.
  4. F공집합을 원소로 갖지 않는다. 정의에 따라 이 공리를 제외하기도 하며, 그 경우 이 공리를 따르면 proper filter로 부른다.

이 정의는 위의 정의와 동치이다.

같이 보기[편집]