원순서 집합

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순서론에서, 원순서 집합(原順序集合, 영어: preordered set, proset)은 그 속의 두 원소를 추이적으로 비교할 수 있는 집합이다. 부분 순서 집합과, 동치 관계를 갖는 집합의 공통적인 일반화이다. 어떤 집합의 몫집합 위의 부분 순서로도 생각할 수 있다.

정의[편집]

원순서 집합의 개념은 다음과 같이 세 가지로 정의할 수 있으며, 이들은 서로 동치이다.

순서론적 정의[편집]

집합 위의 원순서는 다음 조건들을 만족시키는 이항 관계 이다.

  • (반사성) 임의의 에 대하여,
  • (추이성) 임의의 에 대하여, 라면

원순서를 갖춘 집합을 원순서 집합(영어: preordered set, proset)이라고 한다. 이 정의에 대칭성()을 추가하면 부분 순서를 얻는다.

범주론적 정의[편집]

얇은 범주(-範疇, 영어: thin category) 는 다음 조건을 만족시키는 범주이다.

  • 임의의 두 대상 및 그 사이의 두 사상 에 대하여, 이다. 즉, 사상 모임 한원소 집합이거나 공집합이다.

범주론적으로, 원순서 집합은 얇은 작은 범주이다. 구체적으로, 원순서 집합 은 다음과 같은 범주로 여길 수 있다.

  • 의 대상은 의 원소이다.
  • 사상인 두 원소의 순서쌍 이며, 이는 에서 로 가는 사상이다. 즉, 사상 모임이 다음과 같다.

위상수학적 정의[편집]

알렉산드로프 공간(Александров空間, 영어: Alexandrov space)은 임의의 열린집합들의 (유한 또는 무한) 족의 교집합열린집합위상 공간이다.

알렉산드로프 공간의 개념은 원순서 집합의 개념과 동치이다. 구체적으로, 임의의 위상 공간 에 대하여 다음과 같은 원순서를 줄 수 있다.

여기서 한원소 집합폐포이다. 반대로, 임의의 원순서 집합 이 주어졌을 때, 상집합열린집합으로, 하집합닫힌집합으로 하는 위상을 부여할 수 있으며, 이렇게 하여 얻는 위상 공간은 항상 알렉산드로프 공간이다.

성질[편집]

원순서 집합 가 주어졌을 경우, 위에 다음과 같은 동치 관계를 정의하자.

이에 따른 몫집합 위에서 부분 순서를 정의한다. 반대로, 어떤 집합 몫집합 위에 부분 순서가 주어졌다면, 이는 위의 원순서를 정의한다.

크기가 유한 집합 위의 가능한 원순서의 수는 다음과 같다 ().

1, 1, 4, 29, 355, 6942, 209527, 9535241, 642779354, (OEIS의 수열 A798)

유한 집합 위의 위상들과 원순서들 사이에는 표준적인 일대일 대응이 존재한다. 구체적으로, 위상 (열린집합들의 집합)가 주어졌다면,

와 같이 원순서를 정의할 수 있다. 반대로, 원순서 가 주어졌다면,

기저로 하는 위상을 정의할 수 있다.

[편집]

범주 속의 대상 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 범주 를 다음과 같이 정의하자.

  • 의 대상은 공역-단사 사상 이다.
  • 의 두 대상 , 사이의 사상 가 되는 -사상 이다.

그렇다면, 는 (단사 사상의 정의에 따라) 얇은 범주이다. 이에 대응하는 부분 순서 모임은 부분 대상들의 모임 이다.

마찬가지로, 범주 를 다음과 같이 정의하자.

  • 의 대상은 정의역-전사 사상 이다.
  • 의 두 대상 , 사이의 사상 가 되는 -사상 이다.

그렇다면, 는 (전사 사상의 정의에 따라) 얇은 범주이다. 이에 대응하는 부분 순서 모임은 몫 대상들의 모임 이다.

외부 링크[편집]