상집합

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집합 부분 집합부분 순서로 나열되어 있다. 원소 1을 포함하는 모든 집합(녹색)은 상집합이며, 이는 추가로 필터를 이룬다.

순서론에서, 상집합(上集合, 영어: upper set, upward-closed set, upset)은 에 속하는 원소보다 더 큰 임의의 원소 역시 에 속하는, 원순서 집합부분 집합 이다. 마찬가지로, 하집합(下集合, 영어: lower set, downward-closed set, downset)은 에 속하는 원소보다 더 작은 임의의 원소 역시 에 속하는, 원순서 집합부분 집합 이다.

정의[편집]

원순서 집합 부분 집합 상폐포(上閉包, 영어: upper closure)는 다음과 같은 부분 집합이다.

이는 를 포함하는 최소 상집합이다. 원순서 집합 부분 집합 하폐포(下閉包, 영어: lower closure)는 다음과 같은 부분 집합이다.

이는 를 포함하는 최소 하집합이다.

원순서 집합 부분 집합 에 대하여 다음 조건들이 모두 서로 동치이며, 이를 만족시키는 부분 집합상집합(上集合, 영어: upper set)이라고 한다.

  • 임의의 에 대하여, 라면 이다.
  • 사슬 에 대하여, 만약 라면, 이다.
  • 는 하집합이다.

원순서 집합 부분 집합 에 대하여 다음 조건들이 모두 서로 동치이며, 이를 만족시키는 부분 집합하집합(下集合, 영어: lower set)이라고 한다.

  • 임의의 에 대하여, 라면 이다.
  • 사슬 에 대하여, 만약 라면, 이다.
  • 는 상집합이다.

성질[편집]

원순서 집합 의 상집합들의 (유한 또는 무한) 족 교집합

합집합

역시 상집합이다. 마찬가지로, 하집합들의 (유한 또는 무한) 족의 교집합합집합 역시 하집합이다.

따라서, 원순서 집합 의 상집합들의 족은 (부분 집합 관계에 대하여) 완비 격자를 이룬다. 마찬가지로, 의 하집합들의 족 역시 완비 격자를 이룬다.

반사슬과의 관계[편집]

부분 순서 집합 의 상집합 극소 원소들의 집합 반사슬을 이룬다. 마찬가지로, 의 하집합 극대 원소들의 집합 반사슬을 이룬다.

반대로, 부분 순서 집합 반사슬 가 주어졌을 때, 는 상집합이며

이다. 따라서, 반사슬 집합에서 상집합 집합으로 가는 함수

단사 함수이며,

는 그 왼쪽 역사상이자 전사 함수이다.

만약 내림 사슬 조건을 만족시킨다면 이 두 함수는 전단사 함수이다. 그러나 일반적 부분 순서 집합에 대해서는 전단사 함수가 아닐 수 있다. 예를 들어, 실수전순서 집합에서 양의 실수의 부분 집합 는 상집합이지만 극소 원소를 갖지 않는다.

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자명한 상집합·하집합[편집]

임의의 원순서 집합 에 대하여, 는 스스로의 상집합이자 하집합이며, 또 공집합 역시 의 상집합이자 하집합이다.

주 필터와 주 아이디얼[편집]

임의의 원순서 집합 의 원소 에 대하여,

는 각각 상집합과 하집합을 이룬다. 사실, 이들은 각각 필터아이디얼을 이룬다.

실직선[편집]

실수의 전순서 집합 의 상집합은 항상 다음 네 가지 가운데 하나이다.

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마찬가지로, 실수의 전순서 집합 의 하집합은 항상 다음 네 가지 가운데 하나이다.

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정렬 집합[편집]

순서수는 스스로 미만의 다른 순서수들의 집합으로 여길 수 있다.

이 경우, 두 순서수 에 대하여, 만약 라면 의 하집합이다.

순서수 의 모든 상집합은 다음과 같은 꼴이다.

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순서수 의 모든 하집합은 다음과 같은 꼴이다.

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외부 링크[편집]