기저 (위상수학)

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일반위상수학에서, 위상 공간기저(基底, 영어: base 또는 영어: basis)는 열린집합의 모임으로, 모든 열린집합을 그 모임에 속하는 집합의 합집합으로 나타낼 수 있는 성질이 있는 경우를 가리킨다. 많은 경우, 열린집합을 직접 정의하는 것보다 기저나 부분 기저를 통해 위상을 기술하는 것이 더 편리하다.

기저가 주어지면 그 기저에 대응하는 위상 공간이 유일하게 결정된다. 그러한 위상 공간을 기저에서 생성된다고 부른다. 단, 위상 공간이 주어졌을 때 그에 대응하는 기저는 유일하지 않을 수 있다.

정의[편집]

집합 에 대해, 다음 성질을 만족하는 의 부분 집합의 모임 기저라고 한다.

  • 덮개이다. 즉, 이다. 즉, 임의의 에 대하여 를 만족하는 가 존재한다.
  • 임의의 에 대하여, 덮개를 이루는 가 존재한다 (즉, ). 다시 말해, 임의의 에 대하여, 가 존재한다.

이때 기저 에 의해 생성되는 위상 (열린집합의 집합족) 는 다음과 같다.

즉, 기저 로 생성되는 위상 의 부분 집합들의 합집합들로 구성된다. 다시 말해, 의 부분 집합 열린집합필요 충분 조건은, 임의의 에 대하여 를 만족하는 가 존재하는 것이다.

부분 기저[편집]

집합 속의 임의의 집합족 가 주어졌다고 하자. 이때, 로부터 생성되는 기저(영어: base generated by ) 는 다음과 같다.

즉, 로부터 생성되는 기저는 의 유한 교집합들로 구성된다. 이때 부분 기저(部分基底, subbase/subbasis)라 한다.

성질[편집]

위상 공간의 기저는 유일하지 않다. 예를 들어, 실수 집합의 위상 공간에 대응하는 기저는 열린구간의 모임이 될 수 있고, 혹은 끝점이 유리수인 열린구간의 모임이나 반대로 끝점이 무리수인 열린구간의 모임도 기저가 될 수 있다.

바깥 고리[편집]