상향 원순서 집합

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순서론에서, 상향 원순서 집합(上向原順序集合, 영어: upward-directed preordered set)은 임의의 유한 부분 집합상계가 존재하는 원순서 집합이다. 마찬가지로, 하향 원순서 집합(下向原順序集合, 영어: downward-directed preordered set)은 임의의 유한 부분 집합하계가 존재하는 원순서 집합이다.

정의[편집]

임의의 원순서 집합 은 항상 다음과 같이 작은 범주로 여길 수 있다.

  • 대상은 의 원소이다.
  • 가 주어졌을 때, 만약 라면 유일한 사상 가 존재하며, 아니라면 그 사이에 사상이 존재하지 않는다.
  • 의 항등 사상은 이다.
  • 사상의 합성은 이다.

원순서 집합 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 원순서 집합상향 원순서 집합(上向原順序集合, 영어: upward-directed preordered set)이라고 한다.

  • 작은 범주로 여겼을 때, 여과 범주를 이룬다.
  • 임의의 유한 부분 집합 , 상계를 갖는다. 즉,
    • (인 경우) 공집합이 아니다.
    • (인 경우) 임의의 두 원소 에 대하여, 이자 가 적어도 하나 이상 존재한다.

둘째 조건에서, 인 경우는 자명하게 참이며, 인 경우는 인 경우를 재귀적으로 적용하여 유도된다.

마찬가지로, 원순서 집합 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 원순서 집합하향 원순서 집합(下向原順序集合, 영어: downward-directed preordered set)이라고 한다.

  • 작은 범주로 여겼을 때, 여과 범주반대 범주를 이룬다.
  • 임의의 유한 부분 집합 , 하계를 갖는다. 즉,
    • (인 경우) 공집합이 아니다.
    • (인 경우) 임의의 두 원소 에 대하여, 이자 가 적어도 하나 이상 존재한다.

흔히, 상향 원순서 집합은 단순히 "유향 집합"(有向集合, 영어: directed set)으로 불린다.

원순서 집합의 부분 집합 가운데 하향 원순서 집합을 이루는 것을 필터 기저(영어: filter base)라고 하며, 그 상폐포필터를 이룬다. 마찬가지로, 원순서 집합의 부분 집합 가운데 상향 원순서 집합을 이루는 것을 순서 아이디얼 기저(영어: ordered ideal base)라고 하며, 그 하폐포순서 아이디얼을 이룬다.

유향 극한[편집]

임의의 범주 속의 상향 그림(上向-, 영어: directed diagram)은 정의역이 상향 원순서 집합 함자 이다. 상향 그림의 극한상향 극한(영어: upward-directed limit)이라고 한다.

임의의 범주 속의 하향 그림(下向-, 영어: directed diagram)은 정의역이 하향 원순서 집합 함자 이다. 상향 그림의 쌍대 극한하향 쌍대 극한(영어: downward-directed colimit)이라고 한다.

성질[편집]

원순서 집합 위의 상향 부분 집합들의 집합 위에는 다음과 같은 원순서가 주어진다.

일 경우 보다 더 섬세하다(영어: finer)고 한다. 두 상향 부분 집합 , 이 같은 필터를 생성하는 것은 이자 인 것과 동치이다.

마찬가지로, 원순서 집합 위의 하향 부분 집합들의 집합 위에는 다음과 같은 원순서가 주어진다.

두 하향 부분 집합 , 이 같은 아이디얼을 생성하는 것은 이자 인 것과 동치이다.

참고 문헌[편집]

  • J. L. Kelley (1955), General Topology.
  • Gierz, Hofmann, Keimel, et al. (2003), Continuous Lattices and Domains, Cambridge University Press. ISBN 0-521-80338-1.

외부 링크[편집]